第一单元 圆柱和圆锥（单元讲义） -2022-2023学年六年级数学下册帮课堂（北师大版）

第一单元 圆柱和圆锥 （知识导图+考点梳理+典例精讲+精编练习） 知识导图 考点一 面的旋转 1、点动成线，线动成面，面动成体。 2、将一个长方形以长(宽)为轴，快速旋转后可以形成一个圆柱。 圆柱有两个底面和一个侧面； 两个底面是两个完全相同的圆； 侧面是一个曲面，圆柱有无数条高，所有的高都相等。 3、将一个直角三角形沿一条直角边快速旋转，会形成一个圆锥。 圆锥的底面是一个圆； 圆锥的侧面是一个曲面，圆锥只有一条高。 【例一】将图形绕虚线旋转一周，可以得到图形（　 　） A． B． C． 【详解】 面动成体，直角三角形绕直角边旋转一周可得圆锥，长方形绕一边旋转一周可得圆柱， 所以旋转得出的图形上部是一个圆锥体，下部是一个圆柱体． 故选：A 【例二】想一想，连一连．转动后会形成怎样的图形？ 【分析】根据点动成线，线动成面，面动成体，第一行的平面图绕中心轴旋转一周，可围成一个立体图形，根据平面图的及立体图形的特征即可判断；或把第二行的立体图形从中心“十”字剖开，其截面是一个平面图形，根据立体图形及平面图形的特征判断即可连线． 解： 【点评】此题主要考查立体图形中的旋转体，也就是把一个图形绕一条直线旋转得到的图形，要掌握基本的图形特征，才能正确判定． 【例三】某公路有一段路需要维修，工人摆了一些路障，每个圆锥底面直径为50厘米，一共摆了15个，每两个圆锥间的距离是1.5米，从第一个圆锥到最后一个圆锥共占多长的路面？ 50厘米=0.5米 0.5×15+1.5×14=28.5（米） 答：共占28.5米长的路面。 考点二 圆柱的表面积 1、圆柱的侧面积。 圆柱的侧面如果沿高剪开得到一个长方形。 长方形的长就是圆柱的底面的周长，长方形的宽就是圆柱的高。 圆柱的侧面积=底面周长×高，用字母表示:S侧=Ch 2、圆柱的表面积。 圆柱的表面积=侧面积+两个底面积 圆柱的表面积公式：S表=2πr²+2πrh。 不同的圆柱形实物，它们的表面积也不相同。比如圆柱形烟囱的表面积等于烟囱的侧面积，圆柱形水桶的表面积就是水桶的侧面积加上一个底面积。 【例四】一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的底面直径与高的最简整数比是（　　） A．1：1 B．1：2 C．50：157 【详解】 解：设圆柱的底面直径是d，则底面周长为πd，即圆柱的高也为πd， 则底面直径：高＝d：πd＝1：π＝1：3.14＝100：314＝50：157 故选：C． 【点睛】 根据“圆柱的侧面展开后是一个长方形，长方形的长等于圆柱的底面周长，长方形的宽等于圆柱的高”可知：圆柱的底面周长和圆柱的高相等，进而进行解答即可． 【例五】一台压路机的滚筒宽1.2米，直径为0.8米，若它一直向前滚动，那么，它需滚动（ ）周，才能使压过的路面面积为24π平方米． 【分析】 根据圆柱的侧面积公式：S＝πdh，据此求出压路机的滚筒滚动一周压路的面积，然后根据“包含”除法的意义，用除法解答． 【详解】 24π÷（π×0.8×1.2） ＝24π÷0.96π ＝25（周）， 答：它滚动25周，才能使压过的路面面积为24π平方米． 故答案为：25． 【例六】一个圆柱体形的蓄水池，从里面量底面周长31.4米，深2.4米，在它的内壁与底面抹上水泥。抹水泥部分的面积是多少平方米？ 【分析】 抹水泥部分的面积就是这个圆柱形水池的表面积，即一个底面积和侧面积的和，由此先利用底面周长公式求出这个水池的底面半径，再利用侧面积公式和圆的面积公式即可解答。 【详解】 底面半径是：31.4÷3.14÷2＝5（米） 底面积是：3.14×52 ＝3.14×25 ＝78.5（平方米） 侧面积是：3.14×5×2×2.4＝75.36（平方米） 所以抹水泥的面积是：78.5＋75.36＝153.86（平方米） 答：抹水泥的面积是153.86平方米。 【点睛】 解答此题主要分清所求物体的形状，转化为求有关图形的面积的问题，把实际问题转化为数学问题，再运用数学知识解决。 考点三 圆柱的体积 1、意义：圆柱形物体所占空间的大小叫作圆柱的体积。 2、圆柱的体积的计算公式。 把一个圆柱的底面平均分成若干个相等的扇形，再把这些扇形按照等分线沿高剪开，等分成若干份，就可以拼成一个近似的长方体。 长方体的体积=　　长　　×　宽×高 　　↓　　　　　　↓　　　　↓　↓ 圆柱的体积 =×高 用字母表示：V=S×h V=πr2×h 【例七】把一根长1米的圆柱形钢材截成2段后，表面积增加了6. 28平方分米，这根钢材原来的体积是（ ） A．31.4立方分米 B．3.14立方分米 C．6.28立方分米 【解析】 把一个圆木截成2段，增加2个底面积为6.28平方分米，则一个底面积为3.24平方分米