北京市通州区2020-2021学年高三上学期期末摸底考试数学试卷

2021北京通州高三（上）期末 数 学 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每个小题列出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的. 1．（4分）已知集合，2，3，4，，，3，，则　　 A．， B．， C．， D．，2，3，4， 2．（4分）抛物线的准线方程是　　 A． B． C． D． 3．（4分）已知命题，，则是　　 A．， B．， C．， D．， 4．（4分）已知数列为等差数列，且，，则数列的前5项和是　　 A．15 B．20 C．25 D．35 5．（4分）从2名教师和5名学生中，选出3人参加“我爱我的祖国”主题活动．要求入选的3人中至少有一名教师，则不同的选取方案的种数是　　 A．20 B．25 C．30 D．55 6．（4分）已知，且，则下列不等式中一定成立的是　　 A． B． C． D． 7．（4分）已知角的终边与单位圆交于点，则　　 A． B． C． D． 8．（4分）在中，，，且，则的最小值是　　 A． B． C． D． 9．（4分）如图是等轴双曲线形拱桥，现拱顶离水面，水面宽．若水面下降，则水面宽是　　（结果精确到（参考数值：，， A． B． C． D． 10．（4分）如图，等腰直角中，，点为平面外一动点，满足，，给出下列四个结论： ①存在点，使得平面平面； ②存在点，使得平面平面； ③设的面积为，则的取值范围是，； ④设二面角的大小为，则的取值范围是． 其中正确结论是　　 A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11．（5分）复数是虚数单位）的虚部是　　． 12．（5分）在的展开式中，的系数是　　． 13．（5分）在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，若以线段为直径的圆与直线在第一象限交于点，则直线的方程是　　． 14．（5分）某地区每年各个月份的月平均最高气温近似地满足周期性规律，因此第个月的月平均最高气温可近似地用函数来刻画，其中正整数表示月份且，，例如表示1月份，和是正整数，，． 统计发现，该地区每年各个月份的月平均最高气温有以下规律： ①该地区月平均最高气温最高的7月份与最低的1月份相差30摄氏度； ②1月份该地区月平均最高气温为3摄氏度，随后逐月递增直到7月份达到最高； ③每年相同的月份，该地区月平均最高气温基本相同． 根据已知信息，得到的表达式是　　． 15．（5分）已知函数，若存在，，使得，则的取值范围是　　． 三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 16．（13分）如图，四棱柱中，底面为矩形，平面，，分别是，的中点，，． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值． 17．（13分）在锐角中，角，，的对边分别为，，，设的面积为，已知，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，求与的值． 条件①：；条件②：；条件③：． 18．（14分）某企业为了解职工款和款的用户量情况，对本单位职工进行简单随机抽样，获得数据如表： 男职工 女职工 使用 不使用 使用 不使用 款 72人 48人 40人 80人 款 60人 60人 84人 36人 假设所有职工对两款是否使用相互独立． （Ⅰ）分别估计该企业男职工使用款的概率、该企业女职工使用款的概率； （Ⅱ）从该企业男，女职工中各随机抽取1人，记这2人中使用款的人数为，求的分布列及数学期望； （Ⅲ）据电商行业发布的市场分析报告显示，款的用户中男性占、女性占；款的用户中男性占、女性占．试分析该企业职工使用款的男、女用户占比情况和使用款的男、女用户占比情况哪一个与市场分析报告中的男、女用户占比情况更相符． 19．（15分）已知函数． （Ⅰ）求曲线在点，（1）处的切线方程； （Ⅱ）设函数，当时，求零点的个数． 20．（15分）已知椭圆的左、右顶点分别为点，，且，椭圆离心率为． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）过椭圆的右焦点，且斜率不为0的直线交椭圆于，两点，直线，的交于点，求证：点在直线上． 21．（15分）已知数列，，，满足： ①；②，2，，． 记． （Ⅰ）直接写出的所有可能值； （Ⅱ）证明：的充要条件是； （Ⅲ）若，求的所有可能值的和． 参考答案 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每个小题列出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的. 1．【分析】进行补集的运算即可． 【解答】解：，2，3，4，，，3，， ，． 故选：． 【点评】本题考查了列举法的定义，补集及其运算，考查了计算能力，属于基础题． 2．【分析】直接利用抛物线方程，求解准线方程即可． 【解答】解：抛物线的准线方程是， 故选：． 【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，准线方程的求法，是基