北京市海淀区2021-2022学年高三上学期期中练习数学试题

2021北京海淀高三（上）期中 数 学 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1．（4分）在复平面内，复数对应的点的坐标为　　 A． B． C． D． 2．（4分）已知向量，，若，则　　 A．1 B． C．2 D． 3．（4分）已知全集，2，3，，集合，，则集合可能是　　 A． B．， C．， D．，2， 4．（4分）已知命题，，则是　　 A．， B．， C．， D．， 5．（4分）下列函数中，是奇函数且在其定义域上为增函数的是　　 A． B． C． D． 6．（4分）“”是“”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（4分）已知等比数列的公比为．若为递增数列且，则　　 A． B． C． D． 8．（4分）将函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像，则下列说法正确的是　　 A． B．是函数的图像的一条对称轴 C．在上是减函数 D．在上是增函数 9．（4分）下列不等关系中正确的是　　 A． B． C． D． 10．（4分）如图，是轮子外边沿上的一点，轮子半径为．若轮子从图中位置向右无滑动滚动，则当滚动的水平距离为时，下列描述正确的是　　 （参考数据： A．点在轮子的左下位置，距离地面约为 B．点在轮子的右下位置，距离地面约为 C．点在轮子的左下位置，距离地面约为 D．点在轮子的右下位置，距离地面约为 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。 11．（5分）已知是数列的前项和．若，则　　． 12．（5分）已知函数则函数的零点个数为 　　． 13．（5分）已知中，，，，则　　，　　． 14．（5分）已知命题：若满足，则是直角三角形．说明为假命题的一组角为　　，　　． 15．（5分）某生物种群的数量与时间的关系近似地符合．给出下列四个结论： ①该生物种群的数量不会超过10； ②该生物种群数量的增长速度先逐渐变大后逐渐变小； ③该生物种群数量的增长速度与种群数量成正比； ④该生物种群数量的增长速度最大的时间． 根据上述关系，其中所有正确结论的序号是 　　． 三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 16．（14分）已知等差数列满足． （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）若数列是公比为3的等比数列，且，求数列的前项和． 17．（14分）已知函数． （Ⅰ）求函数的最小正周期； （Ⅱ）设函数，求的值域． 18．（14分）已知函数，． （Ⅰ）直接写出曲线与曲线的公共点坐标，并求曲线在公共点处的切线方程； （Ⅱ）已知直线分别交曲线和于点，．当时，设的面积为（a），其中是坐标原点，求（a）的最大值． 19．（14分）设的内角，，的对边分别为，，，且． （Ⅰ）求角大小； （Ⅱ）再从以下三组条件中选择一组条件作为已知条件，使三角形存在且唯一确定，并求的面积． 第①组条件：，； 第②组条件：，； 第③组条件：边上的高，． 20．（14分）设函数，． （Ⅰ）当时，求函数的单调增区间； （Ⅱ）若函数在区间上为减函数，求的取值范围； （Ⅲ）若函数在区间内存在两个极值点，，且满足，请直接写出的取值范围． 21．（15分）设正整数，集合，，，，，，2，，，对应集合中的任意元素，，和，，，及实数，定义：当且仅当，2，，时；，，；，，．若的子集，，满足：当且仅当时，，0，，，则称为的完美子集． （Ⅰ）当时，已知集合，0，，，1，，，0，，，2，，，3，，，5，，分别判断这两个集合是否为的完美子集，并说明理由； （Ⅱ）当时，已知集合，，，，，，，，．若不是的完美子集，求的值； （Ⅲ）已知集合，，，其中，，，2，．若对任意，2，3都成立，判断是否一定为的完美子集．若是，请说明理由；若不是，请给出反例． 参考答案 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1．【分析】根据已知条件，结合复数的乘法原则和复数的几何意义，即可求解． 【解答】解：， 复数对应的点的坐标为． 故选：． 【点评】本题考查了复数的几何意义，以及复数代数形式的乘法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题． 2．【分析】根据平面向量的坐标表示与共线定理，列出方程求出的值． 【解答】解：向量，，且， ，解得． 故选：． 【点评】本题考查了平面向量的坐标表示与共线定理的应用问题，是基础题目． 3．【分析】由已知结合补集的性质可求，然后结合补集运算进行判断． 【解答】解：因为， 所以，2，， 因为， 所以，，， 故，或，2，． 故选：． 【点评】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题． 4．【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论． 【解答】解：命题为全称命题，则命题的否定为，， 故选：． 【点