6.3.4空间距离的计算校本讲义-2022-2023学年高二下学期数学苏教版（2019）选择性必修第二册

江苏省泰兴市第三高级中学虹桥校区校本化讲义 编号012 §6.3.4　空间距离的计算 目标要求 1、能用向量方法解决点到直线的距离． 2、能用向量方法解决点到平面的距离． 学科素养目标 本章是在数学必修第二册“平面向量”的基础上展开的，内容包括空间向量的基本概念和运算，以及用空间向量解决直线、平面位置关系的问题等内容．通过本章的学习，要使学生体会向量方法在研究几何图形中的作用，并进一步培养学生的空间想象力． 本章充分利用空间向量与平面向量之间的内在联系，通过类比，引导学生将平面向量中的概念、运算以及处理问题的方法推广到空间，既使相关内容相互沟通，又使学生学习类比、归纳、推广、化归等思想方法，促使他们体会数学探索活动的基本规律，提高他们对向量的整体认识水平．空间向量的概念、运算、正交分解、坐标表示以及用空间向量表示空间中的几何元素等，都是通过与平面向量的类比完成的．学生可以从中体验数学在结构上的和谐性，同时也感悟到推广过程中因维数增加所带来的影响．在内容叙述过程中，通过“旁白”、“思考”、“实验”、“链接”和习题中的“思考·运用”、“探究·拓展”等为学生提供了较大的思维空间． 重点难点 重点：用向量方法解决点到直线的距离； 难点：用向量方法解决点到平面的距离． 教学过程 基础知识点 1．点到直线的距离 (1)P为直线l外一点，A是l上任意一点，在点P和直线l所确定的平面内取一个与直线l垂直的向量n，则点P到直线l的距离为d＝______________． (2)P为直线l外一点，A是l上任意一点，e是直线l的方向向量，记φ＝〈，e〉，则点P到直线l的距离为d＝___________． 2．点到平面的距离 如图，已知平面α的法向量为n，PQ⊥α，垂足为Q，A为平面α内任一点，则平面外一点P到平面α的距离为： PQ＝＝＝_________________． 【课前小题演练】 题1．已知正四棱柱中，，，为的中点，则直线与平面的距离为　　 A．2 B． C． D．1 题2.已知正四棱柱中，，，点为的中点，则异面直线与所成的角等于　　 A． B． C． D． 题3.已知正方体的棱长为1，为的中点，则点到平面的距离为　　 A． B． C． D． 题4.在空间直角坐标系中，已知，3，，，1，，，3，，，，，平面，垂足为，直线交平面于点，则点的坐标是　　 A．，7， B．，4， C．，7， D．，， 题5.已知空间中四点，1，，，2，，，1，，，2，，则点到平面的距离为　　 A． B． C． D．0 题6.正方体的棱长为4，，，，分别为，，，的中点，则平面与平面的距离为　　 A． B．3 C． D．2 题7.空间四点，3，，，1，，，3，，，1，，则点到平面的距离是__________． 题8.已知直线的方向向量为，，，若点，1，为直线外一点，，1，为直线上一点，则到直线上的距离为__________． 题9.已知正四棱柱中，，为的中点，则直线与平面的距离为________． 题10.如图，正方体的棱长为4，，，，分别为，，，的中点，平面与平面间的距离为_____． 题11.如图，正方体的棱长为，点、、、分别是、、、的中点，则点到平面的距离为____________；直线与平面的距离为___________；平面与平面的距离为___________． 题12.如图，五面体中，四边形为矩形，平面，，，为中点． （1）求证：平面； （2）若平面平面，求点到平面的距离． 【当堂巩固训练】 题13.棱长为1的正方体中，为的中点，则到直线的距离为　　 A． B． C． D． 题14.多面体是由底面为的长方体被截面所截得到的，建立下图的空间直角坐标系，已知，0，、，4，、，0，、，4，、，4，、，4，．若为平行四边形，则点到平面的距离为　　 A． B． C． D． 题15.在棱长为1的正四面体中，为上的一点且，为中点，则点到平面的距离为　　 A． B． C． D． 题16.空间直角坐标系中，有四个点，，0，，，1，，，0，，，4，，则到平面的距离为　　 A． B． C． D． 题17.已知正方体的棱长为4，，，分别为，，的中点，点在平面中，，点在线段上，则下列结论正确的个数是　　 ①点的轨迹长度为； ②的轨迹平面的交线为圆弧； ③的最小值为； ④若，则的最大值为． A．4 B．3 C．2 D．1 题18.（多选题）如图，正方体棱长为2，为棱的中点，为棱上的点，且，现有下列结论，其中所有正确结论的编号为　　 A．当时，平面 B．存在，使得平面 C．当时，点到平面的距离为 D．对任意，直线与是异面直线 题19.已知点，3，，，1，，，3，，，，，则点到平面的距离______． 题20.如图，四棱锥中，底面为矩形，侧面为正三角形，，，平面平面，为