6.3.3空间角的计算(2)校本讲义-2022-2023学年高二下学期数学苏教版（2019）选择性必修第二册

江苏省泰兴市第三高级中学虹桥校区校本化讲义 编号011 §6.3.3　空间角的计算(2) 目标要求 1、能用向量语言表述二面角． 2、能用向量方法解决二面角问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用． 学科素养目标 本章是在数学必修第二册“平面向量”的基础上展开的，内容包括空间向量的基本概念和运算，以及用空间向量解决直线、平面位置关系的问题等内容．通过本章的学习，要使学生体会向量方法在研究几何图形中的作用，并进一步培养学生的空间想象力． 本章充分利用空间向量与平面向量之间的内在联系，通过类比，引导学生将平面向量中的概念、运算以及处理问题的方法推广到空间，既使相关内容相互沟通，又使学生学习类比、归纳、推广、化归等思想方法，促使他们体会数学探索活动的基本规律，提高他们对向量的整体认识水平．空间向量的概念、运算、正交分解、坐标表示以及用空间向量表示空间中的几何元素等，都是通过与平面向量的类比完成的．学生可以从中体验数学在结构上的和谐性，同时也感悟到推广过程中因维数增加所带来的影响．在内容叙述过程中，通过“旁白”、“思考”、“实验”、“链接”和习题中的“思考·运用”、“探究·拓展”等为学生提供了较大的思维空间． 重点难点 重点：用向量语言表述二面角； 难点：用向量方法解决二面角问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用． 教学过程 基础知识点 用向量的夹角度量二面角 设平面α与β所成角的大小为θ，n1，n2为两个非零向量． 当n1⊥α，n2⊥β，则θ＝________或θ＝_____________． 【课前小题演练】 题1．已知平面α的一个法向量为n1＝，平面β的一个法向量为n2＝(1，－1，1)，则平面α与β所成的角为(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 题2.在一个二面角的两个半平面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为(0，－1，3)，(2，2，4)，则这个二面角的余弦值为(　　) A． B．－ C． D．或－ 题3.如图，已知四棱锥的底面是等腰梯形，，且，与交于点，底面，，，，分别是，的中点．则平面与平面夹角的余弦值为　　 A． B． C． D． 题4．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，二面角A1­BD­C1的余弦值是________． 题5.《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，四面体为鳖臑，平面，，且，，则二面角的正弦值为_________． 题6.如图，在正六边形中，将沿直线翻折至△，使得平面平面，，分别为和的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 题7.如图，在圆柱中，四边形是其轴截面，为的直径，且，，． （1）求证：； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求二面角平面角的余弦值． 【当堂巩固训练】 题8．已知二面角α­l­β，其中平面α的一个法向量m＝(1，0，－1)，平面β的一个法向量n＝(0，－1，1)，则二面角α­l­β的大小为(　　) A．60° B．120° C．60°或120° D．135° 题9.在底面为正三角形的直棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）中，，，点为棱的中点，点为，上的点，且满足，当二面角的余弦值为时，实数的值为　　 A．1 B．2 C． D．3 题10．过正方形ABCD的顶点A，作PA⊥平面ABCD，若PA＝BA，则平面ABP和平面CDP所成的锐二面角的大小是(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 题11．已知二面角α­l­β的大小为60°，b和c是两条异面直线，且b⊥α，c⊥β，则b与c所成的角的大小为(　　) A．120° B．90° C．60° D．30° 题12．如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠ACB＝90°，AA1＝AC＝BC＝1，则二面角A­BC1­C的余弦值是________． 题13．如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，AB，AC，AA1两两互相垂直，AA1＝2AB＝2AC，M，N分别是线段BB1，CC1上的点，平面AMN与平面ABC所成(锐)二面角为，当B1M最小时，∠AMB＝________． 题14．如图，四棱锥S­ABCD的底面为正方形，SD⊥平面ABCD，SD＝AB，则异面直线SB与AC所成角的大小为________，二面角S­AB­D的大小为________． 题15.《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑．如下图，四面体为鳖臑，平面，，且，则二面角的余弦值为____． 题16.如图，已知在四棱锥中，底面为等腰梯形，，，为棱上一点，与交于点，且，