考点14 抛物线大题13种常见考法归类-【考点通关】2022-2023学年高二数学题型归纳与解题策略(人教A版2019选择性必修第一册)

考点14 抛物线大题13种常见考法归类 1、直线与抛物线相交问题的解题策略 直线与抛物线相交问题，设出直线方程为，设出交点坐标，，直线方程与抛物线方程联立方程组消元后应用韦达定理得，，然后用所设点的坐标计算题中需要求解的量（本题计算直线的斜率），代入韦达定理的结果化简可得． 2、利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 3、求面积常规类型 （1） （2）三角形恒过数轴上的定线段，可分为左右或者上下面积，转化为 （3）三角形恒过某定点，可分为左右或者上下面积，转化为 （4）四边形面积，注意根据题中条件，直接求面积或者转化为三角形面积求解。 4、抛物线中的最值问题解决方法一般分两种： 一是几何法，特别是用抛物线的定义和平面几何的有关结论来求最值； 二是代数法，常将抛物线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值． 5、求解直线过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明. 注：求解此类问题的基本思路如下： ①假设直线方程，与抛物线方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式； ②利用求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式； ③利用韦达定理表示出已知中的等量关系，代入韦达定理可整理得到变量间的关系，从而化简直线方程； ④根据直线过定点的求解方法可求得结果. 6、求定值问题常见的方法有两种： (1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． (2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 7、解决直线与抛物线的综合问题时，要注意： (1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、抛物线的条件； (2)强化有关直线与抛物线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、定值定点、三角形的面积等问题． 考点一 求抛物线方程 1．（2022秋·广西河池·高二校联考阶段练习）已知点到点的距离比点到直线的距离小1； (1)求点的轨迹的方程； (2)试问曲线上是否存在两点，关于直线对称，若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由. 2．（2022秋·广西河池·高二校联考阶段练习）已知抛物线的焦点在直线上，直线过的焦点与交于，两点， (1)求抛物线的方程， (2)求弦的长度的最小值. 3．（2022秋·内蒙古包头·高二包头市第四中学校考期末）已知点在抛物线上，的重心与此抛物线的焦点重合（如图）． (1)写出该抛物线的方程和焦点的坐标； (2)求线段中点的坐标． 4．（2022秋·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）已知动点在抛物线：，动点Q在圆：上，且之间距离的最小值为． (1)求抛物线和圆的方程； (2)抛物线上是否存在三点,使得外切于圆？若存在，求出三点的坐标；若不存在，请说明理由． 考点二 与抛物线有关的轨迹问题 5．（2022秋·四川成都·高二成都外国语学校校考期中）已知平面内一动点到点的距离比到轴的距离大1． (1)求动点的轨迹的方程； (2)过点的直线交曲线C于A、B，且有 ，求直线的斜率． 6．（2022·全国·高二假期作业）已知曲线上任意一点与定点的距离比它到直线的距离小1. (1)求曲线的轨迹方程； (2)若直线经过点，与曲线交于两点，且，求直线的方程. 7．（2022秋·重庆沙坪坝·高二重庆一中校考期中）已知抛物线的焦点为到双曲线的渐近线的距离为1． (1)求抛物线的标准方程； (2)过动点作抛物线的切线（斜率不为0），切点为，求线段的中点的轨迹方程． 8．（2022秋·湖北·高二校联考阶段练习）已知抛物线，，在抛物线上，且（为原点）为等边三角形，. (1)求抛物线的方程； (2)若直线过直线与轴的交点，且与抛物线交于、两点，求的重心的轨迹方程. 考点三 直线与抛物线的位置关系 9．（2022·高二课时练习）已知抛物线的方程为，直线过定点，斜率为，为何值时，直线与抛物线 （1）只有一个公共点； （2）有两个公共点； （3）没有公共点? 10．（2022·高二课时练习）设直线，抛物线，当为何值时，与相切 ？相交？相离？ 11．（2022·高二单元测试）如图，直线：与抛物线：相切于