考点07 椭圆离心率14种常见考法归类-【考点通关】2022-2023学年高二数学题型归纳与解题策略(人教A版2019选择性必修第一册)

考点07 椭圆离心率的14种常见考法归类 离心率是刻画椭圆的扁平程度和双曲线的开口大小的一个量。求离心率的大小和范围问题是高考的热点和难点。离心率问题既可以考查圆锥曲线的定义和性质，又可以综合考查平面几何、三角函数、平面向量等内容，还可以考查考生的逻辑推理能力、运算能力、空间想象能力，更可以考查数形结合、转化与化归、函数与方程等数学思想方法。因此，备受命题者青睐。 一、求离心率的方法． 求圆锥曲线的离心率主要围绕寻找参数的比例关系（只需找出其中两个参数的关系即可），方法通常有两个方向： 1、 利用几何性质：如果题目中存在焦点三角形（曲线上的点与两焦点连线组成的三角形），那么可考虑寻求焦点三角形三边的比例关系，进而两条焦半径与有关，另一条边为焦距，从而可求解； （1）特殊三角形与离心率 这类题目通常利用特殊三角形的性质来找参数关系，用到的性质一般有边角相等、三角形相似、面积公式、正余弦定理、角平分线性质、高的性质、中线的性质等，解题方法可用代数法也可用几何法，通常数形结合，用几何法计算量较小，运算相对简单. （2） 平行四边形与离心率 与平行四边形结合的离心率问题一般有两类，一类是题目中存在四边形；另一类是利用圆锥曲线的对称性构造四边形.用到的性质通常有：对边平行相等；两条对角线长度的平方和等于两倍的两个邻边的平方和等.解题时可用代数法也可用几何法. （3） 圆与离心率 借助于圆的性质求离心率问题的题目相对较多，考查点通常是圆的性质和圆锥曲线性质的结合，比如弦的中点与圆心的连线与弦垂直，直径所对的圆周角是90°，半径相等，圆与圆的位置关系等. 2、利用坐标运算：如果从题目中的条件难以发掘几何关系，那么可考虑将点的坐标用进行表示，再利用条件列出等式求解．（要习惯将看作常数） 3、通过取特殊值或特殊位置，求出离心率． 二、离心率的范围问题． 在寻找不等关系时通常可从以下几个方面考虑： （1）借助题目中给出的不等信息 题目中某点的横坐标（或纵坐标）是否有范围要求：例如椭圆与双曲线对横坐标的范围有要求．如果问题围绕着“曲线上存在一点”，则可考虑将该点坐标用表示，且点坐标的范围就是求离心率范围的突破口； 基本步骤： ①找出试题本身给出的不等条件，如已知某些量的范围，存在点或直线使方程成立，的范围等； ②列出不等式，化简得到离心率的不等关系式，从而求解. （2）借助函数的值域求解范围 若题目中有一个核心变量，则可以考虑将离心率表示为某个变量的函数，从而求该函数的值域即可； 基本步骤： ①根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式； ②通过确定函数的定义域； ③利用函数求值域的方法求解离心率的范围. （3） 借助平面几何图形中的不等关系 基本步骤： ①根据平面图形的关系，如三角形两边之和大于第三边、折线段大于或等于直线段、对称的性质中的最值等得到不等关系， ②将这些量结合曲线的几何性质用进行表示，进而得到不等式， ③解不等式，确定离心率的范围. 另外，不能忽略了圆锥曲线离心率的自身限制条件(椭圆、双曲线离心率的取值范围不一致)，否则很容易产生增根或者扩大所求离心率的取值范围． 考点一 利用几何性质 1．（2022秋·陕西渭南·高二统考期末）已知椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为A.若为正三角形，则该椭圆的离心率为______. 2．（2023·河南郑州·高二校联考阶段练习）直线与椭圆交于两点，是椭圆的右焦点，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．（2022秋·吉林四平·高二四平市第一高级中学校考阶段练习）已知椭圆的左､右顶点分别为，且以线段为直径的圆与直线相切，则椭圆的离心率为__________. 4．（2022春·辽宁丹东·高二凤城市第一中学阶段练习）已知椭圆的右焦点为，短轴的一个端点为，直线与椭圆相交于 ，两点．若，点到直线的距离不小于，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A．, B．, C．, D．, 考点二 利用坐标法 5．（2022秋·江苏无锡·高二统考期中）如图所示，分别是椭圆的右、上顶点，是的三等分点（靠近点），为椭圆的右焦点，的延长线交椭圆于点，且，则椭圆的离心率为______． 6．（2022秋·吉林·高二统考期中）过椭圆的左顶点A且斜率为的直线交椭圆于另一点，且点在轴上的射影恰为右焦点,若，则椭圆的离心率的取值范围是_____________. 考点三 椭圆第一定义 7．（2022秋·福建三明·高二阶段练习）设、分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，使，且，则椭圆离心率为 A． B． C． D． 8．（2022秋·安徽·高二统考期中）、分别是椭圆的左、右焦点，过作直线交椭圆于、两点，已知，，则椭圆的离心率为 A． B． C． D． 9．（20