第十七章 勾股定理 章节复习（教学设计）-【上好课】2022-2023学年八年级数学下册同步备课系列（人教版）

人教版初中数学八年级下册 第十七章 勾股定理 章节复习 教学设计 一、教学目标： 1.复习与回顾本章的重要知识点; 2.勾股定理及其逆定理的用途和相互关系; 3.总结本章的重要思想方法及其应用; 4.勾股定理及逆定理的综合运用. 二、教学过程： 知识网络 知识梳理 一、勾股定理 勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b，斜边长为c,那么a2+b2=c2.两直角边的平方和等于斜边的平方. 二、勾股定理的实际应用 利用勾股定理解决实际问题的一般步骤： （1）读懂题意，分析已知、未知间的关系； （2）构造直角三角形； （3）利用勾股定理等列方程； （4）解决实际问题. 三、利用勾股定理表示无理数的方法: （1）利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边. （2）以原点为圆心，以无理数斜边长为半径画弧与数轴存在交点，在原点左边的点表示是负无理数，在原点右边的点表示是正无理数. 类似地，利用勾股定理，可以作出长为，，，…的线段. 按照同样方法，可以在数轴上画出表示，，，，，…的点. 四、折叠问题中结合勾股定理求线段长的方法: (1)设一条未知线段的长为x(一般设所求线段的长为x)； (2)用已知线数或含x的代数式表示出其他线段长； (3)在一个直角三角形中应用勾股定理列出一个关于x的方程； (4)解这个方程，从而求出所求线段长. 五、原命题与逆命题 题设和结论正好相反的两个命题，叫做互逆命题，其中一个叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题. 一般地，原命题成立时，它的逆命题既可能成立，也可能不成立.如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，我们称这两个定理互为逆定理.勾股定理与勾股定理的逆定理为互逆定理. 六、勾股定理的逆定理 勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形. 七、勾股数 如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2那么这个三角形是直角三角形.满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数. 常见勾股数：3，4，5；6，8，10；5，12，13；8，15，17；7，24，25等等. 一组勾股数，都扩大相同倍数k(k为正整数)，得到一组新数，这组数同样是勾股数. 如：3，4，5；6，8，10；9，12，15；12，16，20… 考点梳理 考点解析 考点1：勾股定理的简单应用 例1.在Rt△ABC中， ∠C=90°. （1）若a:b=1:2 ，c=5,求a; （2）若b=15，∠A=30°,求a,c. 解：(1)设a=x,b=2x,根据勾股定理建立方程得 x2+(2x)2=52，解得 (2) 因此设a=x,c=2x,根据勾股定理建立方程得 (2x)2-x2=152，解得 【点睛】已知直角三角形两边关系和第三边的长求未知两边时，要运用方程思想设未知数，根据勾股定理列方程求解. 例2.已知∠ACB=90°,CD⊥AB,AC=3,BC=4.求CD的长. 解：由勾股定理可得 AB2=AC2+BC2=25， 即 AB=5. 根据三角形面积公式， ∴AC×BC=AB×CD. ∴CD=. 【点睛】由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直角边的积等于斜边与斜边上高的积，它常与勾股定理联合使用． 例3.以直角三角形的三边为边向外作正方形，如图①所示，三个正方形的面积分别为S1，S2，S3，则有S1+S2___S3(填“>”“=”“<”). (1) 分别以直角三角形的三边为直径向外作半圆，如图②所示，上述结论是否仍成立?说明理由. (2)分别以直角三角形的三边为斜边向外作等腰直角三角形，(1)中的结论仍成立吗(直接写出结论，无需证明)? (3)(变式拓展)如图③,图中数字代表正方形的面积,∠ACB=120°，求正方形P的面积. 解: (1) 成立.理由如下: S1=×π(a)2=a2, S2=×π(b)2=b2 S3=×π(c)2=c2 ∴a2+b2=c2， ∴S1+S2=S3 即(1)中的结论仍然成立. (2) 成立. (3)由题意得AC=2,BC=3. 作AD⊥BC，交BC的延长线于D. ∵∠ACB=120° ∴∠ACD=60°，∠DAC=30° ∴CD=AC=1 在Rt△ACD中，根据勾股定理得AD= 在Rt△ADB中，BD=BC+CD=3+1=4 根据勾股定理得AB2=AD2+BD2=3+16=19 ∴正方形P的面积为AB2=19. 【迁移应用】 【1-1】如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，观察图形,可以验证的式子为( ) A.(a+b)(a-b)=a2-b2 B.(a+b)2=a2+2ab+b2 C.c2=a2+b2 D.(a-b)2=a