10.1 两角和与差的三角函数（课件）-高一数学同步精品课堂（苏教版2019必修第二册）

苏教版（2019） 必修第二册 10.1 两角和与差的三角函数 第10章 三角恒等变换 学习目标 1.经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义。 2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的余弦、正弦和正切公式。 2023/1/30 2 情境导入 设向量 又因为 = 由向量的数量积运算法则，可以将看成 即看成 2023/1/30 3 情境导入 所以 这是一个有趣的等式，在回答了sin x＋cos x可以化为Asin（）的同时，还告诉我们可以用x的三角函数与的三角函数来表示。 思考：cos（）能否用α的三角函数与β的三角函数来表示？ 2023/1/30 4 探究新知 核心知识点一： 两角和与差的余弦 把看成两个向量夹角的余弦，考虑用向量的数量积来研究. 如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边分别作角，β，其终边分别与单位圆交于P1（cos ，sin ），P2（cosβ，sinβ），则∠P1OP2=-β。由于余弦函数是周期为2π的偶函数，所以，我们只需考虑0≤-β≤π的情况。 2023/1/30 5 探究新知 设向量a==，b==。 则 同时，根据向量数量积的坐标表示，可以得到 所以 两角差的余弦公式 2023/1/30 6 探究新知 在两角差的余弦公式中，用一β代替β，就可以得到 即： 两角差的余弦公式 2023/1/30 7 重点探究 利用两角和（差）的余弦公式证明下列诱导公式： （1） 证明:（1）由公式　得， ； 所以 2023/1/30 8 重点探究 利用两角和（差）的余弦公式证明下列诱导公式： （1） 证明:（2）在上式中。用代换，可以得到， ； 所以 2023/1/30 9 探究新知 核心知识点二： 两角和与差的正弦 利用两角和的余弦公式求的三角函数值。 ==。 又因为 思考：有没有类似于两角和与差的余弦公式的两角和与差的正弦公式可以直接求出的三角函数值吗？ 2023/1/30 10 探究新知 我们可以通过诱导公式，；实现正弦余弦函数之间的转化。 = = 所以 两角和的正弦公式 2023/1/30 11 探究新知 在两角和的正弦公式中，用一β代替β，就可以得到 =, 即 两角差的正弦公式 2023/1/30 12 重点探究 1.已知,，,， 求的值. 解：由 ，得； 又因为 ，得； 所以 2023/1/30 13 重点探究 2.证明：. 证明：左边= == 2023/1/30 14 探究新知 核心知识点三： 两角和与差的正切 探究 根据两角和与差的正余弦公式求出的三角函数值 = = 2023/1/30 15 探究新知 核心知识点三： 两角和与差的正切 根据两角和与差的正余弦公式我们不难得出两角和与差的正切公式： ==. ==. 两角差的正切也可以将看成得出。 2023/1/30 16 探究新知 所以对使等式两边都有意义的和都有两角和与差的正切公式： 、、统称为和角公式，、、统称为差角公式。 2023/1/30 17 重点探究 已知，是方程x²＋5x-6=0的两根，求的值. 【分析】本题既可以根据方程解出 ，的值，再代入公式计算，也可以不解方程，通过计算 tanα＋ tanβ，tanαtanβ的值来求的值. 　 解法1 解方程得 =-6，=1或=1，=-6. 代入两角和的正切公式，得 2023/1/30 18 重点探究 已知，是方程x²＋5x-6=0的两根，求的值. 【分析】本题既可以根据方程解出 ，的值，再代入公式计算，也可以不解方程，通过计算 tanα＋ tanβ，tanαtanβ的值来求的值. 　 解法2 因为，是方程x²＋5x-6=0的两根，所以+=-5,=-6. 2023/1/30 19 重点探究 在斜三角形ABC中，求证： tan A＋tan B＋tan C=tan A tan B tan C. 【分析】将要证的等式与两角和（差）的正切公式比较，它们都含有正切的和与积，因此可考虑运用两角和的正切公式. 证明 在斜三角形ABC中，有A＋B＋C=π，即A＋B=π-C，且A，B，A＋B都不等于，所以 tan(A＋B)=tan(π-C), 即 =-tan C, 即 tan A＋tan B=-tan C＋tan A tan B tan C, 从而 tanA＋tanB＋tanC=tanAtanBtanC. 2023/1/30 20 重点探究 【总结】 1.两角差的余弦公式常见题型及解法 (1)两特殊角之差的余弦值，利用两角差的余弦公式直接展开求解．