专题22 直线与圆锥曲线-2023年新高考数学二轮热点突破与提分训练（新高考专用）

专题22直线与圆锥曲线 考点定位 直线与圆锥曲线的位置关系是高考的必考内容，涉及直线与圆锥曲线的相交、相切、弦长、面积以及弦中点等问题，难度中等 热点突破 热点（一）中点弦问题 1（单选）已知斜率为1的直线l与双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)相交于B，D两点，且BD的中点为M(1，3)，则C的离心率为（ ） A. 1 B. C. D.2 【解析】易求得直线l的方程为y＝x＋2，代入C的方程，并化简，得(b2－a2)x2－4a2x－4a2－a2b2＝0.设B(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1＋x2＝，由M(1，3)为BD的中点知＝1，∴×＝1，有b2＝3a2.∴c＝＝2a.∴C的离心率e＝＝2.故选D。 2（多选）如图，设抛物线y2＝4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则关于△BCF与△ACF的面积之比说法错误的是(　　) A. B. C. D. 【解析】如图所示，抛物线的准线DE的方程为x＝－1，过A，B分别作AE⊥DE于点E，交y轴于点N，BD⊥DE于点D，交y轴于点M，由抛物线的定义知|BF|＝|BD|，|AF|＝|AE|，则|BM|＝|BD|－1＝|BF|－1，|AN|＝|AE|－1＝|AF|－1，则＝＝＝.故选BCD. 3（填空）已知椭圆C：＋＝1，点M与C的焦点不重合．若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|＋|BN|＝____________． 【解析】设MN的中点为P，椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，连接PF1，PF2，则PF1，PF2分别为△ANM与△BNM的中位线，有|PF1|＝|AN|，|PF2|＝|BN|，又∵点P在椭圆上，∴|AN|＋|BN|＝2|PF1|＋2|PF2|＝2·2a＝12.故填12. 4（解答）已知椭圆C：9x2＋y2＝m2(m>0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M. (1)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值； (2)若l过点，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由． 【解析】(1)证明：设直线l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)．将y＝kx＋b代入9x2＋y2＝m2，得(k2＋9)x2＋2kbx＋b2－m2＝0，故xM＝＝，yM＝kxM＋b＝.于是直线OM的斜率kOM＝＝－，∴kOM·k＝－9，即直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值． (2)四边形OAPB能为平行四边形．∵直线l过点，∴l不过原点且与椭圆C有两个交点的充要条件是k>0，k≠3.由(1)得直线OM的方程为y＝－x.设点P的横坐标为xP，由得x＝，即xP＝.将点的坐标代入(1)中l的方程得b＝，因此xM＝.四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即xP＝2xM，于是＝2×，解得k1＝4－，k2＝4＋.∵k>0，k≠3，∴当l的斜率为4－或4＋时，四边形OAPB为平行四边形． 【归纳反思】 1.已知A(x1，y1)，B(x2，y2)为圆锥曲线E上两点，AB的中点C(x0，y0)，直线AB的斜率为k. (1)若椭圆E的方程为＋＝1(a>b>0)，则k＝－·； (2)若双曲线E的方程为－＝1(a>0，b>0)，则k＝·；　 (3)若抛物线E的方程为y2＝2px(p>0)，则k＝. 1.处理中点弦问题的常用方法：(1)根与系数的关系；(2)点差法. 3.利用点差法需注意保证直线与曲线相交. 热点（二）弦长问题 1（单选）已知倾斜角为60°的直线l通过抛物线x2＝4y的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，则弦AB的长为（ ） A.10 B. 12 C. 14 D.16 【解析】直线l的方程为y＝x＋1，联立得y2－14y＋1＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝14，∴|AB|＝y1＋y2＋p＝14＋2＝16.故填16. 2（多选）椭圆C：＋＝1(a>b>0)经过点P，且两焦点与短轴的两个端点的连线构成一个正方形.下列说法正确的有（ ） A. 椭圆C的方程为 B. 椭圆C的方程为 C. 过椭圆C的右焦点F作直线l交C于A，B两点，且＝2，则|AB|= D. 过椭圆C的右焦点F作直线l交C于A，B两点，且＝2，则|AB|= 【解析】∵两焦点与短轴的两个端点的连线构成一个正方形，∴b＝c， ∵椭圆过点P，∴＋＝1，又a2＝b2＋c2，解得a2＝2，b2＝1， ∴椭圆C的方程为＋y2＝1.A正确，B错误；∵F(1，0)，设lAB：x＝my＋1， A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程得得(m2＋2)y2