专题21 圆锥曲线的基本问题-2023年新高考数学二轮热点突破与提分训练（新高考专用）

专题21圆锥曲线的基本问题 考点定位 圆锥曲线的方程与几何性质是高考的重点，多以选择题、填空题或解答题的一问的形式命题，难度较小 热点突破 热点（一）圆锥曲线的定义与标准方程 1（单选）如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是(　　) A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 【解析】由条件知|PM|＝|PF|.∴|PO|＋|PF|＝|PO|＋|PM|＝|OM|＝R>|OF|.∴P点的轨迹是以O，F为焦点的椭圆．故选A。 2（多选）已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P为C上一点，则(　　) A.C的离心率为 B.△PF1F2的周长为5 C.∠F1PF2<90° D.1≤|PF1|≤3 【解析】对于A，由椭圆方程知：a＝2，c＝＝1，∴离心率e＝＝，A错误；对于B，由椭圆定义知：|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，|F1F2|＝2c＝2，∴△PF1F2的周长为4＋2＝6，B错误；对于C，当P为椭圆短轴端点时，tan＝＝，∴tan∠F1PF2＝＝＝，∴∠F1PF2＝60°，即(∠F1PF2)max＝60°，∴∠F1PF2<90°，C正确；对于D，∵|PF1|min＝a－c＝1，|PF1|max＝a＋c＝3，∴1≤|PF1|≤3，D正确.故选CD. 3（填空）若双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于____________． 【解析】由题意知点P在双曲线E的左支上，根据双曲线的定义，|PF2|－|PF1|＝|PF2|－3＝6，得|PF2|＝9.故填9. 4（解答）已知抛物线的顶点在原点，焦点在坐标轴上，又知抛物线上一点A(m，－3)到焦点F的距离为5，求m的值，并写出抛物线的方程． 【解析】∵抛物线过点A(m，－3)，∴抛物线的开口向下、向右或向左． ①当抛物线开口向下时，设抛物线的方程为x2＝－2py(p＞0)，准线方程为y＝，由抛物线的定义得－(－3)＝5，解得p＝4，抛物线的方程为x2＝－8y.∵点A(m，－3)在抛物线上，∴代入得m2＝24，m＝±2. ②当抛物线开口向右或向左时，设抛物线的方程为y2＝2ax(a≠0)，准线方程可统一为x＝－.由题意可得 解得 或 或 或∴当m＝时，抛物线的方程为y2＝2x；当m＝－时，抛物线的方程为y2＝－2x；当m＝时，抛物线的方程为y2＝18x；当m＝－时，抛物线的方程为y2＝－18x. 【归纳反思】 1.圆锥曲线的定义 (1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a＞|F1F2|). (2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(0＜2a＜|F1F2|). (3)抛物线：|PF|＝|PM|，l为抛物线的准线，点F不在定直线l上，PM⊥l于点M. 2.求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算” 所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值.　 2. 求圆锥曲线的标准方程时的常见错误 双曲线的定义中忽略“绝对值”致错；椭圆与双曲线中参数的关系式弄混，椭圆中的关系式为a2＝b2＋c2，双曲线中的关系式为c2＝a2＋b2；圆锥曲线方程确定时还要注意焦点位置. 热点（二）椭圆、双曲线的几何性质 1（单选）直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为(　　) A. B. C. D. 【解析】如图，由题意得，|BF|＝a，|OF|＝c，|OB|＝b，|OD|＝×2b＝b. 在Rt△FOB中，|OF|×|OB|＝|BF|×|OD|，即cb＝a·b，解得a＝2c，故椭圆离心率e＝＝，故选B. 2（多选）已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A1，A2，点P是双曲线C上异于顶点的一点，则(　　) A.||PA1|－|PA2||＝2a B.若焦点F2关于双曲线C的渐近线的对称点在C上，则C的离心率为 C.若双曲线C为等轴双曲线，则直线PA1的斜率与直线PA2的斜率之积为1 D.若双曲线C为等轴双曲线，且∠A1PA2＝3∠PA1A2，则∠PA1A2＝ 【解析】对于A：在△PA1A2中，根据三角形两边之差小于第三边， 故||PA1|－|PA2||<|A1A2|＝2a，故A错误； 对于B，焦点F2(c，0)，渐近线不妨取y＝x，即bx－ay＝0， 设焦点F2关于双曲线C的渐近线的对称点为(m，n)， 则解得即F2关于双曲线C的渐近线的对称点为，由题意该对称点在双曲线上，故－＝1， 将c2＝a2＋b2代入，化简整理