专题20 直线与圆-2023年新高考数学二轮热点突破与提分训练（新高考专用）

专题20直线与圆 考点定位 考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题、直线与圆的位置关系(特别是弦长问题)，此类问题难度属于中低档，一般以选择题、填空题的形式出现 热点突破 热点（一）直线的方程及应用 1（单选）过点M(－1，m)，N(m＋1，4)的直线的斜率等于1，则m的值为(　　) A．1 B. C．2 D. 【解析】由＝1，得m＝1.故选A. 2（多选）已知直线l过点(3，4)，点A(－2，2)，B(4，－2)到l的距离相等，则l的方程可能是(　　) A.x－2y＋2＝0 B.2x－y－2＝0 C.2x＋3y－18＝0 D.2x－3y＋6＝0 【解析】A，B在直线l同侧时，kl＝kAB＝＝－，∴l：y＝－(x－3)＋4， 即2x＋3y－18＝0，A，B在直线l异侧时，l过AB中点M(1，0)，∴kl＝＝2，∴l：y＝2(x－3)＋4，即2x－y－2＝0，故选：BC. 3（填空）三条直线l1：3x＋my－1＝0，l2：3x－2y－5＝0，l3：6x＋y－5＝0不能围成三角形．则实数m为何值为 【解析】当m＝0时，直线l1，l2，l3可以围成三角形，要使直线l1，l2，l3不能围成三角形，则m≠0.记l1，l2，l3三条直线的斜率分别为k1，k2，k3，则k1＝－，k2＝，k3＝－6.若l1∥l2，或l1∥l3，则k1＝k2＝，或k1＝k3＝－6，解得m＝－2或m＝；若三条直线交于一点，由得 l2与l3交于点(1，－1)，将点(1，－1)代入3x＋my－1＝0，得m＝2.∴当m＝±2或时，l1，l2，l3不能围成三角形． 4（解答）根据所给条件求直线的方程． (1)直线过点(－4，0)，倾斜角的正弦值为； (2)直线过点(－3，4)，且在两坐标轴上的截距相等； (3)直线过点(5，10)，且到原点的距离为5. 【解析】(1)由题意知，直线的斜率存在，设倾斜角为α，则sinα＝(α∈[0，π))，从而cosα＝±，则k＝tanα＝±.故所求直线的方程为y＝±(x＋4)，即x±3y＋4＝0. (2)若截距不为0，设直线的方程为＋＝1，∵直线过点(－3，4)，∴＋＝1，解得a＝1.此时直线方程为x＋y－1＝0.若截距为0，设直线方程为y＝kx，代入点(－3，4)，有4＝－3k，解得k＝－，此时直线方程为4x＋3y＝0.综上，所求直线方程为x＋y－1＝0或4x＋3y＝0. (3)由题意知，当直线的斜率不存在时符合题意，此时直线方程为x－5＝0.当直线斜率存在时，设其方程为y－10＝k(x－5)，即kx－y＋(10－5k)＝0.由点到直线的距离公式，得＝5，解得k＝.此时直线方程为3x－4y＋25＝0.综上知，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0. 【归纳反思】 1.已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为零)，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为零)，则l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且A1C2－A2C1≠0；l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. 2.两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝(A2＋B2≠0). 3.点(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝(A2＋B2≠0).　 热点（二）圆的方程 1（单选）已知点A(－2，0)，B(0，2)，实数k是常数，M，N是圆x2＋y2＋kx＝0上两个不同点，P是圆x2＋y2＋kx＝0上的动点，若M，N关于直线x－y－1＝0对称，则△PAB面积的最大值是(　　) A．3－ B．4 C．3＋ D．6 【解析】依题意得圆x2＋y2＋kx＝0的圆心位于直线x－y－1＝0上，于是有－－1＝0，即k＝－2，因此圆心坐标是(1，0)，半径是1.由题意可得|AB|＝2，直线AB的方程是＋＝1，即x－y＋2＝0，圆心(1，0)到直线AB的距离为＝，点P到直线AB的距离的最大值是＋1，∴△PAB面积的最大值为×2×＝3＋.故选C. 2（多选）设圆A：x2＋y2－2x－3＝0，则下列说法正确的是(　　) A.圆A的半径为2 B.圆A截y轴所得的弦长为2 C.圆A上的点到直线3x－4y＋12＝0的最小距离为1 D.圆A与圆B：x2＋y2－8x－8y＋23＝0相离 【解析】把圆A的方程x2＋y2－2x－3＝0化成标准方程为(x－1)2＋y2＝4， 所以圆A的圆心坐标为(1，0)，半径为2，A正确； 圆A截y轴所得的弦长|CD|＝2×＝2，B正确； 圆心(1，0)到直线3x－4y＋12＝0的距离为3， 故圆A上的点到直线3x－4y＋12＝0的最小距离为3－2＝1，C正确； 圆B：x2＋y2－8x－8y＋23＝0的圆心为(4，4)，半径为3，根据＝5可知，圆A与圆