专题18 几何体的截面或交线-2023年新高考数学二轮热点突破与提分训练（新高考专用）

专题18几何体的截面或交线 考点定位 1.空间几何体截面的作图主要原理：两个基本事实及两个性质. 两个基本事实为： (1)如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们相交于过此点的一条直线； (2)如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内. 两个性质为： (1)如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就和交线平行； (2)如果两个平面平行，第三个平面和它们相交，那么两条交线平行. 2.立体几何中的截面类型 (1)平面截球：圆面. (2)平面截正方体：三角形、四边形、五边形、六边形. (3)平面截圆柱曲面：圆、椭圆、矩形. (4)平面截圆锥曲面：椭圆、双曲线、抛物线. 热点突破 热点（一）截面的作法 1（单选）如图，已知球O是棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1的内切球，则平面ACD1截球O的截面面积为(　　) A. B. C.π Dπ 【解析】根据正方体的几何特征知，平面ACD1是边长为的正三角形，且球与以点D为公共点的三个面的切点恰为三角形ACD1三边的中点，故所求截面的面积是该正三角形的内切圆的面积，由图得△ACD1内切圆的半径是×tan30°＝，故所求的截面圆的面积是π×＝.故选A. 2（多选）棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，点P，Q，R分别是面A1B1C1D1，BCC1B1，ABB1A1的中心，下列结论正确的有（ ） A.PR与BQ是异面直线； B.RQ⊥平面BCC1B1； C.平面PQR∥平面D1AC； D.过P，Q，R的平面截该正方体所得截面是边长为的等边三角形． 【解析】由于PR是△A1BC1的中位线，所以PR∥BQ，故A不正确；由于RQ∥A1C1，而A1C1不垂直于面BCC1B1，所以B不正确；由于PR∥BC1∥D1A，PQ∥A1B∥D1C，所以C正确；由于△A1BC1是边长为的正三角形，所以D正确．故填CD. 3（填空）如图，一个平面α斜截一个足够高的圆柱，与圆柱侧面相交的图形为椭圆E.若圆柱底面圆半径为r，平面α与圆柱底面所成的锐二面角大小为θ，则下列对椭圆E的描述中，正确的有 （填序号） ①短轴为2r，且与θ大小无关 ②离心率为cos θ，且与r大小无关 ③焦距为2rtan θ ④面积为 【解析】由题意，椭圆短轴长2b＝2r，而长轴长随θ变大而变长且2a＝， 所以c＝＝rtan θ，故e＝＝sin θ，焦距为2c＝2rtan θ，由椭圆在底面投影即为底面圆，则cos θ等于圆的面积与椭圆面积的比值，所以椭圆面积为S＝.综上，①，③，④正确，②错误． 4（解答）已知正方体A1B1C1D1－ABCD，E，F，H分别是A1B1，B1C1，AD的中点，试过三点E，F，H作截面. 【解析】如图，连接EF，并且延长，与D1A1，D1C1的延长线分别交于N，R两点， 连接NH并延长分别交AA1和 D1D的延长线于S，T，连接TR分别交CD，CC1于M，G，顺次连接点E，F，G，M，H，S，E，则六边形EFGMHS就是所作截面. 【归纳反思】 空间几何体的截面作图主要作法：(1)直接法；(2)平行线法；(3)延长法；(4)辅助平面法. 热点（二）截面形状的判断 1（单选）如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是棱B1B，B1C1的中点，点G是棱C1C的中点，则过线段AG且平行于平面A1EF的截面图形为(　　) A.矩形 B.三角形 C.正方形 D.等腰梯形 【解析】取BC的中点H，连接AH，GH，AD1，D1G， 由题意得GH∥EF，AH∥A1F，又GH⊄平面A1EF，EF⊂平面A1EF，所以GH∥平面A1EF，同理AH∥平面A1EF，又GH∩AH＝H，GH，AH⊂平面AHGD1，所以平面AHGD1∥平面A1EF.故过线段AG且与平面A1EF平行的截面图形为四边形AHGD1，显然为等腰梯形.故选D。 2（多选）已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，点E，F，G分别为棱AB，AA1，C1D1的中点.下列结论中正确是(　　) A.过E，F，G三点作正方体的截面，所得截面为正六边形 B.B1D1∥平面EFG C.BD1⊥平面ACB1 D.异面直线EF与BD1所成角的正切值为 【解析】对于A，因为E，F，G为棱AB，AA1，C1D1的中点，设A1D1的中点为M，BC的中点为N，CC1的中点为P，连接点M，F，E，N，P，G可得截面为正六边形，所以A正确； 对于B，通过以DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系，求出，平面EFG法向量n1，可推出·n1≠0，故B1D1与平面EFG不平行，所以B错误； 对于C，同上建系，求出，平面ACB1的法向量n2，可推得＝λn2，所