专题06 【大题限时练六】-备战2023年江苏高考数学满分限时题集

专题06 大题限时练六 1．在中，角，，所对的边分别为，，，，．从下面两个条件中任选一个作为已知条件，判断是否为钝角三角形，并说明理由． ①；②． 2．设是等比数列的前项和，，且，，成等差数列． （1）求的通项公式； （2）求使成立的的最大值． 3．为研究某种疫苗的效果，对200名志愿者进行了试验，得到如下数据． 未感染病毒 感染病毒 合计 接种 80 20 100 未接种 60 40 100 合计 140 60 200 （1）根据200名志愿者的数据，问：能否有的把握认为疫苗有效？ （2）现从接种的100名志愿者中按分层抽样方法取出15人，再从这15人中随机抽取3人，求至少有1人感染的概率． 参考公式：，其中． 参考数据： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.01 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 4．如图，在三棱锥中，是正三角形，平面平面，，点，分别是，的中点． （1）证明：平面平面； （2）若，点是线段上的动点，问：点运动到何处时，平面与平面所成的锐二面角最小． 5．已知函数，，为自然对数的底数． （1）求函数的单调区间； （2）记函数在上的最小值为，证明：． 6．在平面直角坐标系中，已知抛物线，直线与抛物线交于，两点，过，分别作抛物线的切线，两切线的交点在直线上． （1）若点的坐标为，求的长； （2）若，求点的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 大题限时练六 1．在中，角，，所对的边分别为，，，，．从下面两个条件中任选一个作为已知条件，判断是否为钝角三角形，并说明理由． ①；②． 【答案】见解析 【解析】选择①， 由余弦定理知，， 所以， 因为，所以最大的角是， 而， 故是钝角三角形． 选择②， 由余弦定理知，， 所以，化简得， 解得或（舍负）， 因为，所以最大的角是，而， 故不是钝角三角形． 2．设是等比数列的前项和，，且，，成等差数列． （1）求的通项公式； （2）求使成立的的最大值． 【答案】（1）；（2）的最大值为3 【解析】（1）设等比数列的公比为， 由，且，，成等差数列，可得， 即，所以， 所以公比， 所以； （2）， ，即， 所以， 显然为奇数，解得，3， 则的最大值为3． 3．为研究某种疫苗的效果，对200名志愿者进行了试验，得到如下数据． 未感染病毒 感染病毒 合计 接种 80 20 100 未接种 60 40 100 合计 140 60 200 （1）根据200名志愿者的数据，问：能否有的把握认为疫苗有效？ （2）现从接种的100名志愿者中按分层抽样方法取出15人，再从这15人中随机抽取3人，求至少有1人感染的概率． 参考公式：，其中． 参考数据： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.01 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 【答案】见解析 【解析】（1）由题意得， 因为， 所以有的把握认为疫苗有效． （2）由题意可得从接种的100名志愿者中按分层抽样方法取出15人中，有人未感染病毒，有人感染病毒， 记事件为“从这15人中随机抽取3人中至少有1人感染”，则事件为“从这15人中随机抽取3人中没有1人感染”， 由题意得， 所以（A）， 所以从这15人中随机抽取3人，求至少有1人感染的概率． 4．如图，在三棱锥中，是正三角形，平面平面，，点，分别是，的中点． （1）证明：平面平面； （2）若，点是线段上的动点，问：点运动到何处时，平面与平面所成的锐二面角最小． 【答案】见解析 【解析】（1）因为是正三角形，点是中点，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又因为平面，所以， 因为点，分别是，的中点，所以， 又因为，所以，又因为，， 平面，平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面． （2）在平面中，过点作，垂足为， 设，则，，． 以为正交基底，建立如图空间直角坐标系， 则， 设，，，则，， 设平面的法向量为， 由，令，故， 设平面的法向量为， 由，令，则， 设平面与平面所成的锐二面角为， 则， 当，最大，此时锐二面角最小， 故当点为的中点时，平面与平面所成的锐二面角最小． 5．已知函数，，为自然对数的底数． （1）求函数的单调区间； （2）记函数在上的最小值为，证明：． 【答案】（1）单调递增区间为，，单调递减区间；（2）见解析 【解析】（1），， ，，单调递增；，，单调递减； ，，单调递增； 单调递增区间为，，单调递减区间． （2）证明：，， ①（1），则（1）， ②当时，，， 所以， 所以； 当时， 设，，所以在，单调递增， 所以（