专题04 【大题限时练四】-备战2023年江苏高考数学满分限时题集

专题04 大题限时练四 1．若数列满足：，，对于任意的，都有． （1）证明：数列是等比数列； （2）求数列的通项公式． 2．在平面四边形中，，，，． （1）求的面积； （2）求的长． 3．如图1，在平行四边形中，，，，，垂足为．以为折痕把折起，使点到达点的位置，且平面与平面所成的角为（如图． （1）求证：； （2）若点在线段上，且二面角的大小为，求三棱锥的体积． 4．空气质量指数与空气质量等级的对应关系如下： 空气质量指数 空气质量等级 ， 优 ， 良 ， 轻度污染 ， 中度污染 ， 中度污染 严重污染 下列频数分布表是某场馆记录了一个月天）的情况： 空气质量指数 ， ， ， ， 频数（单位：天） 3 6 15 6 （1）利用上述频数分布表，估算该场馆日平均的值；（同一组中的数据以这组数据所在区间的中点值作代表） （2）如果把频率视为概率，且每天空气质量之间相互独立，求未来一周天）中该场馆至少有两天空气质量等级达到“优或良”的概率；（参考数据：，结果精确到 （3）为提升空气质量，该场馆安装了2套相互独立的大型空气净化系统．已知每套净化系统一年需要更换滤芯数量情况如下： 更换滤芯数量（单位：个） 3 4 5 概率 0.2 0.3 0.5 已知厂家每年年初有一次滤芯促销活动，促销期内每个滤芯售价1千元，促销期结束后每个滤芯恢复原价2千元．该场馆每年年初先在促销期购买个滤芯，如果不够用，则根据需要按原价购买补充．问该场馆年初促销期购买多少个滤芯，使当年购买滤芯的总花费最合理，请说明理由．（不考虑往年剩余滤芯和下一年需求） 5．已知双曲线，四点，，，中恰有三点在上． （1）求的方程； （2）过点的直线交于，两点，过点作直线的垂线，垂足为．证明：直线过定点． 6．已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若，证明：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 大题限时练四 1．若数列满足：，，对于任意的，都有． （1）证明：数列是等比数列； （2）求数列的通项公式． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】（1）证明：由，得， 即，又，，得， 所以是以2为首项，以3为公比的等比数列； （2）由（1）可知，故， 所以，又， 所以是以为首项，以为公差的等差数列， ，故． 2．在平面四边形中，，，，． （1）求的面积； （2）求的长． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）中，由余弦定理得，， 即， 所以， 的面积； （2）中，由正弦定理得，， 所以， 同理，中，由正弦定理得， 因为，， 所以， 所以， 所以， 所以． 3．如图1，在平行四边形中，，，，，垂足为．以为折痕把折起，使点到达点的位置，且平面与平面所成的角为（如图． （1）求证：； （2）若点在线段上，且二面角的大小为，求三棱锥的体积． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】（1）证明：平面与平面所成的角为，平面平面， 平面平面，，平面， 平面， 平面，． （2）平面，，， ，，，两两垂直， 以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 在中，，，，，则， ，，，，，，，0，，，0，， 设，则，，，， ，，，，，， 设平面的一个法向量为，，， 则， 设，则， 平面的一个法向量为，0，， 二面角为， ， 解得，，到平面的距离为， ， 三棱锥的体积为． 4．空气质量指数与空气质量等级的对应关系如下： 空气质量指数 空气质量等级 ， 优 ， 良 ， 轻度污染 ， 中度污染 ， 中度污染 严重污染 下列频数分布表是某场馆记录了一个月天）的情况： 空气质量指数 ， ， ， ， 频数（单位：天） 3 6 15 6 （1）利用上述频数分布表，估算该场馆日平均的值；（同一组中的数据以这组数据所在区间的中点值作代表） （2）如果把频率视为概率，且每天空气质量之间相互独立，求未来一周天）中该场馆至少有两天空气质量等级达到“优或良”的概率；（参考数据：，结果精确到 （3）为提升空气质量，该场馆安装了2套相互独立的大型空气净化系统．已知每套净化系统一年需要更换滤芯数量情况如下： 更换滤芯数量（单位：个） 3 4 5 概率 0.2 0.3 0.5 已知厂家每年年初有一次滤芯促销活动，促销期内每个滤芯售价1千元，促销期结束后每个滤芯恢复原价2千元．该场馆每年年初先在促销期购买个滤芯，如果不够用，则根据需要按原价购买补充．问该场馆年初促销期购买多少个滤芯，使当年购买滤芯的总花费最合理，请说明理由．（不考虑往年剩余滤芯和下一年需求） 【答案】见解析 【解析】（1）法一