专题03 【大题限时练三】-备战2023年江苏高考数学满分限时题集

专题03 大题限时练三 1．在中，内角，，所对的边分别为，，，． （1）若，，求； （2）点在边上，且，证明：平分． 2．已知数列的前项和为，． （1）从下面两个结论中选择一个进行证明，并求数列的通项公式； ①数列是等差数列； ②数列是等比数列； （2）记，求数列的前项和． 3．佩戴头盔是一项对家庭与社会负责的表现，某市对此不断进行安全教育．如表1是该市某主干路口连续4年监控设备抓拍到的驾驶员不戴头盔的统计数据： 表 年度 2018 2019 2020 2021 年度序号 1 2 3 4 不戴头盔人数 1250 1050 1000 900 （1）请利用所给数据求不戴头盔人数与年度序号之间的回归直线方程，并估算该路口2022年不戴头盔的人数； （2）交警统计年通过该路口的开电瓶车出事故的50人，分析不戴头盔行为与事故是否伤亡的关系，得到表2，能否有的把握认为不戴头盔行为与事故伤亡有关？ 表 不戴头盔 戴头盔 伤亡 7 3 不伤亡 13 27 参考公式：，． 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 ，其中． 4．在三棱柱中，，，，，，为中点，平面平面． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 5．双曲线经过点，，且渐近线方程为． （1）求，的值； （2）点，，是双曲线上不同的三点，且，两点关于轴对称，的外接圆经过原点．求证：直线与圆相切． 6．设函数，为自然对数的底数，． （1）若，求证：函数有唯一的零点； （2）若函数有唯一的零点，求的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 大题限时练三 1．在中，内角，，所对的边分别为，，，． （1）若，，求； （2）点在边上，且，证明：平分． 【答案】（1）；（2）见解析 【解析】（1）由，可得， 所以， 因为， 所以； （2）证明：设，， 因为，由正弦定理得， 在中，由正弦定理得：，① 在中，由正弦定理得：，② 因为，， 所以可得， 因为，， 所以，即平分． 2．已知数列的前项和为，． （1）从下面两个结论中选择一个进行证明，并求数列的通项公式； ①数列是等差数列； ②数列是等比数列； （2）记，求数列的前项和． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】证明：（1）若选数列是等差数列， ①，②， ②①得，即， 且， 是首项为，公差为1的等差数列， ； 若选数列是等比数列， ①，②， ②①得，即， ，整理得， ， 是等比数列且首项为，公比为， ， ； 解：（2）， ， ， ． 3．佩戴头盔是一项对家庭与社会负责的表现，某市对此不断进行安全教育．如表1是该市某主干路口连续4年监控设备抓拍到的驾驶员不戴头盔的统计数据： 表 年度 2018 2019 2020 2021 年度序号 1 2 3 4 不戴头盔人数 1250 1050 1000 900 （1）请利用所给数据求不戴头盔人数与年度序号之间的回归直线方程，并估算该路口2022年不戴头盔的人数； （2）交警统计年通过该路口的开电瓶车出事故的50人，分析不戴头盔行为与事故是否伤亡的关系，得到表2，能否有的把握认为不戴头盔行为与事故伤亡有关？ 表 不戴头盔 戴头盔 伤亡 7 3 不伤亡 13 27 参考公式：，． 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 ，其中． 【答案】见解析 【解析】（1）由表中数据可得，，， ， ， 故回归直线方程为， 2022年，即，． （2）列联表如下： 不戴头盔 戴头盔 合计 伤亡 7 3 10 不伤亡 13 27 40 合计 20 30 50 ， 有的把握认为不戴头盔行为与事故伤亡有关． 4．在三棱柱中，，，，，，为中点，平面平面． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】（1）证明：，为中点，， 平面平面，平面平面， 平面， 平面； （2）在平面内过点作，如图，建立空间直角坐标系， 由，，， ，， ，， ，0，，，0，，，，5，， ， 由，得，，， ，，， 平面的一个法向量，0，， 设与平面所成角为， 则， 直线与平面所成角的正弦值为． 5．双曲线经过点，，且渐近线方程为． （1）求，的值； （2）点，，是双曲线上不同的三点，且，两点关于轴对称，的外接圆经过原点．求证：直线与圆相切． 【答案】（1）；（2）见解析 【解析】（1）解：，解得，则