专题20 【大题限时练二十】-备战2023年江苏高考数学满分限时题集

专题20 大题限时练二十 1．在中，已知． （1）求的值； （2）若是的角平分线，求的长． 2．已知数列前项积为，且． （1）求证：数列为等差数列； （2）设，求证：． 3．如图所示的几何体中，平面，平面，，，，点在棱上，且． （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 4．某工厂采购了一批新的生产设备．经统计，设备正常状态下，生产的产品正品率为0.98．监控设备生产过程，检验员每天从该设备生产的产品中随机抽取10件产品，并检测质量．规定：抽检的10件产品中，若出现的次品数大于等于2，则认为设备生产过程出现了异常情况，需对设备进行检测及修理． （1）假设设备正常状态，记表示一天内抽取的10件产品中的次品件数，求； （2）该设备由甲、乙、丙三个部件构成，若出现两个或三个部件同时出现故障，则设备停止运转；若只有一个部件出现故障，则设备出现异常．已知设备出现异常是由甲部件故障造成的概率为，由乙部件故障造成的概率为，由丙部件故障造成的概率为．若设备出现异常，需先检测其中一个部件，如果确认该部件出现故障，则进行修理，否则，继续对另一部件进行检测及修理，如果已经检测两个部件未出现故障，则第三个部件无需检测，直接修理．已知甲部件的检测费用1000元，修理费用5000元，乙部件的检测费用2000元，修理费用4000元，丙部件的检测费用2400元，修理费用3600元．当设备出现异常时，仅考虑检测和修理总费用，工程师根据经验给出了三个方案：①按甲、乙、丙的顺序检测修理；②按乙、甲、丙的顺序检测修理；③按丙、乙、甲的顺序检测修理．你运用所学知识，从总费用花费最少的角度，你认为应选用哪个方案，并说明理由． 参考数据：，，． 5．已知椭圆的左、右焦点分别是，，焦距为2，点是椭圆上一动点，△的内切圆的面积的最大值为． （1）求椭圆的方程； （2）延长，与椭圆分别交于点，，问：是否为定值？并说明理由． 6．已知函数，为自然对数的底数，． （1）求函数的单调区间； （2）若，，当时，，，，求的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题20 大题限时练二十 1．在中，已知． （1）求的值； （2）若是的角平分线，求的长． 【答案】（1）；（2） 【解析】：（1）中，由余弦定理得， 即， 整理得， 解得（舍负）， 由为三角形内角得， 由正弦定理得； （2）设，， 则， 所以， 整理得， 中，由余弦定理得， 由于， 所以， 则． 2．已知数列前项积为，且． （1）求证：数列为等差数列； （2）设，求证：． 【答案】见解析 【解析】证明：（1）若，则，此时不满足，故， 由，知， 所以当时，， 两式作商得，，即， 所以，为常数， 故数列为等差数列． （2）由（1）知，数列是公差为1的等差数列， 在中，令，则，所以， 所以， 所以，， 所以， 所以， 故命题得证． 3．如图所示的几何体中，平面，平面，，，，点在棱上，且． （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】（1）证明：因为平面，所以，． 又，，，点在棱上，且． 故，，． 所以，所以． 因为平面，所以， 又，，平面，所以平面． 又平面，所以平面平面． （2）解：如图，以为坐标原点，平面内过且与垂直的直线为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系． 则． 所以． 设平面的一个法向量为，则 令，则，所以． 所以． 所以直线与平面所成角的正弦值为． 4．某工厂采购了一批新的生产设备．经统计，设备正常状态下，生产的产品正品率为0.98．监控设备生产过程，检验员每天从该设备生产的产品中随机抽取10件产品，并检测质量．规定：抽检的10件产品中，若出现的次品数大于等于2，则认为设备生产过程出现了异常情况，需对设备进行检测及修理． （1）假设设备正常状态，记表示一天内抽取的10件产品中的次品件数，求； （2）该设备由甲、乙、丙三个部件构成，若出现两个或三个部件同时出现故障，则设备停止运转；若只有一个部件出现故障，则设备出现异常．已知设备出现异常是由甲部件故障造成的概率为，由乙部件故障造成的概率为，由丙部件故障造成的概率为．若设备出现异常，需先检测其中一个部件，如果确认该部件出现故障，则进行修理，否则，继续对另一部件进行检测及修理，如果已经检测两个部件未出现故障，则第三个部件无需检测，直接修理．已知甲部件的检测费用1000元，修理费用5000元，乙部件的检测费用2000元，修理费用4000元，丙部件的检测费用2400元，修理费用3600元．当设备出现异常时，仅考虑检测和修理总费用，工程师根据经验给出了三个方案：①按甲、乙、丙的顺序检测修理；②按乙、甲、丙的顺序检测修理；③按丙、乙、甲的顺序检测修理．你运用所学知识，