专题14 【大题限时练十四】-备战2023年江苏高考数学满分限时题集

专题14 大题限时练十四 1．在中，角，，所对的边分别为，，，且． （1）求； （2）若是的中点，且，在下面两个问题中选择一个进行解答． ①求面积的最大值； ②求的最大值． 2．已知数列满足，．记． （1）写出，，并证明：数列是等比数列； （2）若数列的前项和为，求数列的前20项的乘积． 3．8年来，某地第年的第三产业生产总值（单位：百万元）统计图表如图所示．根据该图提供的信息解决下列问题． （1）在所统计的8个生产总值中任取2个，记其中不低于平均值的个数为，求的分布列和数学期望； （2）由统计图表可看出，从第5年开始，该地第三产业生产总值呈直线上升趋势，试用线性回归模型预测该地第10年的第三产业生产总值． （参考公式：，． 4．如图，在四棱锥中，底面，，．点在棱上，，点在棱上，． （1）若，为的中点，求证：，，，四点共面； （2）求直线与平面所成角的正弦的最大值． 5．已知函数，函数，其中． （1）判断函数在上的单调性，并说明理由； （2）证明：曲线与曲线有且只有一个公共点． 6．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，准线为，过点且斜率大于0的直线交抛物线于，两点，过线段的中点且与轴平行的直线依次交直线，，于点，，． （1）判断线段与长度的大小关系，并证明你的结论； （2）若线段上的任意一点均在以点为圆心、线段长为半径的圆内或圆上，求直线斜率的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14 大题限时练十四 1．在中，角，，所对的边分别为，，，且． （1）求； （2）若是的中点，且，在下面两个问题中选择一个进行解答． ①求面积的最大值； ②求的最大值． 【答案】（1）；（2）见解析 【解析】（1）在中，由余弦定理，得， 因为，所以， 化简得， 所以， 又因为， 所以． （2）若选①，因为是的中点，所以， 在中，由余弦定理，得， 所以， 所以，当且仅当时等号成立， 所以的面积的最大值是． 若选②，在中，由余弦定理，得， 所以， 所以， 因为是的中点，所以， 所以， 因为，所以， 所以，当且仅当时等号成立．． 所以的最大值是． 2．已知数列满足，．记． （1）写出，，并证明：数列是等比数列； （2）若数列的前项和为，求数列的前20项的乘积． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】（1）证明：因为，所以，； 因为， 所以， 所以， 又因为，所以， 所以数列是等比数列． （2）因为， 所以， 当时，， 当时，， 综上可知，， 所以． 3．8年来，某地第年的第三产业生产总值（单位：百万元）统计图表如图所示．根据该图提供的信息解决下列问题． （1）在所统计的8个生产总值中任取2个，记其中不低于平均值的个数为，求的分布列和数学期望； （2）由统计图表可看出，从第5年开始，该地第三产业生产总值呈直线上升趋势，试用线性回归模型预测该地第10年的第三产业生产总值． （参考公式：，． 【答案】见解析 【解析】（1）8个生产总值的平均数为， 则，， 分布列为： 0 1 2 ； （2）由后面四个数据得： ， 则， 则， 当时，． 4．如图，在四棱锥中，底面，，．点在棱上，，点在棱上，． （1）若，为的中点，求证：，，，四点共面； （2）求直线与平面所成角的正弦的最大值． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】（1）证明：过作的平行线交于，连接， ，又，，，又， ，为的中点，又为的中点， ， 又，又，， ，且， 四边形是平行四边形， ，，，，，四点共面； （2）以为坐标原点，，，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，0，，，0，，，0，．，3，，，0，，，0，，3，， 设，，，，0，，，，，， 设平面的一个法向量为，，， 则，令，则，， 平面的一个法向量为，，， 设直线与平面所成角为， ，， 当时，的值最大，最大值为． 5．已知函数，函数，其中． （1）判断函数在上的单调性，并说明理由； （2）证明：曲线与曲线有且只有一个公共点． 【答案】见解析 【解析】（1）在上恒成立， 函数在上单调递增； （2）证明：令，则问题等价于在上有且仅有一个零点， ，令，则， 在上单增， 注意到，所以当时，，当时，， 当时，，在上单增且， 在上有且仅有一个零点，符合题意； 当时，令，得或，令，得， 在，单增，在单减， 注意到，于是当时，，无零点， 又，， 在，上有唯一的零点． 综上，曲线与曲线有且只有一个公共点． 6．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，准线为，过点且斜率大于0的直线交抛物线于，两点，过线段的中点且与轴平行的直线依次交直线，，于点，，． （1）判断线段与长度的大小关系，并证明你的结论； （2）若线段上的任意一点均在以点为圆心、线段长为半径的圆内