专题13【大题限时练十三】-备战2023年江苏高考数学满分限时题集

专题13 大题限时练十三 1．已知的内角，，的对边分别为，，，且． （1）求； （2）若，，求的面积． 2．在①，；②，；③，这三个条件中选择合适的一个，补充在下面的横线上，并加以解答． 已知是等差数列的前项和，，数列是公比大于1的等比数列，且____． （1）求数列和的通项公式； （2）记，求使取得最大值时的值． 3．如图，在长方体中，已知，，为棱的中点，平面与平面的交线为． （1）证明：； （2）求二面角的正弦值． 4．为进一步推动党史学习教育活动的深入进行，某单位举行了党史知识竞赛．规定：①竞赛包含选择题和填空题2种类型，每位选手按照先回答选择题后回答填空题的顺序进行，每次答题结果正确与否相互独立；②选择题包含3道题目，若前两道均回答正确，则终止选择题解答，进入填空题解答，否则需要回答3道选择题；③填空题也包含3道题目，若第一道填空题回答正确，且连同选择题共答对3道题目，则结束答题，否则需要解答完3道填空题；④若整个竞赛中答题总数为3道，则获得一等奖，奖金为100元；若答题总数为4道或5道，则获得二等奖，奖金为50元；其余情况获参与奖，奖金为20元．现有该单位某员工参加比赛，已知该员工答对每题的概率均为． （1）求该员工获得一等奖的概率； （2）判断该员工获得奖金的期望能否超过50元，并说明理由． 5．在平面直角坐标系中，已知抛物线和点．点在上，． （1）求的方程； （2）若过点作两条直线，，与相交于，两点，与相交于，两点，线段，中点的连线的斜率为，直线，，，的斜率分别为，，，，证明：，且为定值． 6．设函数． （1）当时，讨论的单调性； （2）若在上单调递增，求． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13 大题限时练十三 1．已知的内角，，的对边分别为，，，且． （1）求； （2）若，，求的面积． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）由． 结合正弦定理得， ，，， ，． （2）由余弦定理， ， ． 2．在①，；②，；③，这三个条件中选择合适的一个，补充在下面的横线上，并加以解答． 已知是等差数列的前项和，，数列是公比大于1的等比数列，且____． （1）求数列和的通项公式； （2）记，求使取得最大值时的值． 【答案】（1），；（2）取得最大值时的值为3或4 【解析】（1）由， 又因为， 所以， 所以， 设数列的公比为，则， 选①，因为，， 所以， 又， 所以，所以； 若选②，， 所以， ，即， 所以或， 因为，所以，则； 若选③，由，得， 又， 解得， 因为，所以， 所以； （2）由（1）得， 所以， 因为， 所以当或2时，； 当时，；当时，， 所以， 所以使得取得最大值时的值为3或4． 3．如图，在长方体中，已知，，为棱的中点，平面与平面的交线为． （1）证明：； （2）求二面角的正弦值． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】（1）证明：在平面 中，延长与交于点，连接， 因为，所以是平面与平面的交点，所以， 在长方体中，， 在三角形中，因为为棱的中点，， 所以为棱的中点， 所以在长方体中， 且， 所以且，所以四边形是平行四边形， 所以，即； （2）以 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，0，，，0，，，2，，，2，， 在长方体中，平面， 所以 是平面的一个法向量， 设为平面的法向量， 因为， 由，得，， 取，所以为平面的一个法向量， 记一面角的平面角为， 因为， 所以， 即二面角的正弦值为． 4．为进一步推动党史学习教育活动的深入进行，某单位举行了党史知识竞赛．规定：①竞赛包含选择题和填空题2种类型，每位选手按照先回答选择题后回答填空题的顺序进行，每次答题结果正确与否相互独立；②选择题包含3道题目，若前两道均回答正确，则终止选择题解答，进入填空题解答，否则需要回答3道选择题；③填空题也包含3道题目，若第一道填空题回答正确，且连同选择题共答对3道题目，则结束答题，否则需要解答完3道填空题；④若整个竞赛中答题总数为3道，则获得一等奖，奖金为100元；若答题总数为4道或5道，则获得二等奖，奖金为50元；其余情况获参与奖，奖金为20元．现有该单位某员工参加比赛，已知该员工答对每题的概率均为． （1）求该员工获得一等奖的概率； （2）判断该员工获得奖金的期望能否超过50元，并说明理由． 【答案】见解析 【解析】（1）记该员工获得一等奖为事件， 则． （2）记答题总数为，则的所有可能取值为3，4，5，6， ， ， ， ， 该员工获得奖金为， 则， ， ， 期望， 即该员工获得奖全的期望超过50元． 5．在平面直角坐标系中，已知抛物线和点．点在上，． （1）求的方程； （2）若过点作两条直线，，与相交于，两点，与相交于，两点，线段，中点的连线的斜率为，直线，，，的斜