专题12 【大题限时练十二】-备战2023年江苏高考数学满分限时题集

专题12 大题限时练十二 1．在中，角，，的对边分别为，，，且， （1）求角的大小； （2）已知点满足，且，若，，求． 2．已知为等差数列，，，分别是表第一、二、三行中的某一个数，且，，中的任何两个数都不在表的同一列． 第一列 第二列 第三列 第一行 第二行 4 6 9 第三行 12 8 7 请从①，②，③的三个条件中选一个填入如表，使满足以上条件的数列存在，并在此存在的数列中，试解答下列两个问题： （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前项和，若不等式对任意的都成立，求实数的最小值． 3．某中学有初中学生1800人，高中学生1200人，为了解学生本学期课外阅读时间，现采用分成抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们课外阅读时间，然后按“初中学生”和“高中学生”分为两组，再将每组学生的阅读时间（单位：小时）分为5组：，，，，，，，，，，并分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图． （1）写出的值； （2）试估计该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数； （3）从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，并用表示其中初中生的人数，求的分布列和数学期望． 4．正三棱柱底边长为2，，分别为，的中点． （1）已知为线段上的点，且，求证：面； （2）若二面角所成角的余弦值为，求的值． 5．已知椭圆的离心率为，，是的上、下顶点，且．过点的直线交于，两点（异于，，直线与交于点． （1）求的方程； （2）证明：点的纵坐标为定值． 6．已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）若，，证明：存在两个零点，，且． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 大题限时练十二 1．在中，角，，的对边分别为，，，且， （1）求角的大小； （2）已知点满足，且，若，，求． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）， ， 由，得， 即， 化简得， 解得或（舍， ，． （2）， ①， 在中，由余弦定理知，， ，即②， 由①②，解得，或，， 又，，，， 在中，由余弦定理知，， ． 2．已知为等差数列，，，分别是表第一、二、三行中的某一个数，且，，中的任何两个数都不在表的同一列． 第一列 第二列 第三列 第一行 第二行 4 6 9 第三行 12 8 7 请从①，②，③的三个条件中选一个填入如表，使满足以上条件的数列存在，并在此存在的数列中，试解答下列两个问题： （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前项和，若不等式对任意的都成立，求实数的最小值． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）已知为等差数列， 选②成立，即，所以，，， 所以公差， 所以． （2）设数列， 所以①， ②， ①②得：， 故． 若对于不等式对任意的都成立， 所以， 即对任意的都成立， 设，由， 当，2时，，可得， 当，，，可得， 则中的最大项为， 所以，则实数的最小值为． 3．某中学有初中学生1800人，高中学生1200人，为了解学生本学期课外阅读时间，现采用分成抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们课外阅读时间，然后按“初中学生”和“高中学生”分为两组，再将每组学生的阅读时间（单位：小时）分为5组：，，，，，，，，，，并分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图． （1）写出的值； （2）试估计该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数； （3）从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，并用表示其中初中生的人数，求的分布列和数学期望． 【答案】见解析 【解析】（1）由频率直方图的性质，， ， （2）由分层抽样可知：抽取的初中生有60名，高中有40名， 初中生中，阅读时间不小于30小时的学生的频率为， 所有的初中生阅读时间不小于30小时的学生约有人， 同理，高中生阅读时间不小于30小时的学生的频率为， 学生人数约为人， 所有的学生阅读时间不小于30小时的学生约有， （3）初中生中阅读时间不足10个小时的学生的频率为，样本人数为人， 同理，高中生中阅读时间不足10个小时的学生的频率为， 故的可能取值为：1，2，3， ，，， 的分布列为： 1 2 3 ． 4．正三棱柱底边长为2，，分别为，的中点． （1）已知为线段上的点，且，求证：面； （2）若二面角所成角的余弦值为，求的值． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】证明：（1）取中点为，连结， 则，又， 则，所以， 因为面，面， 故面． 解：（2）如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，设． 则， ， 设平面法向量为， 设平面法向量为． 则，取，得， ，取，得； 设二面角的平面角为， 二面角所成角的余弦值为， ， 整理，