专题10 【大题限时练十】-备战2023年江苏高考数学满分限时题集

专题10 大题限时练十 1．在中，，，分别是内角，，的对边，且满足． （1）求角大小； （2）若为锐角三角形，且，求周长的取值范围． 2．已知数列满足：，． （1）求证：； （2）求证： 3．某水果经营户对出售的苹果按大小和色泽两项指标进行分类，最大横切面直径不小于70毫米则大小达标，着色度不低于则色泽达标，大小和色泽均达标的苹果为一级果；大小和色泽有一项达标另一项不达标的苹果为二级果；两项均不达标的苹果为三级果． 已知该经营户购进一批苹果，从中随机抽取100个进行检验，得到如下统计表格： 直径小于70毫米 直径不小于70毫米 合计 着色度低于 10 15 25 着色度不低于 15 60 75 合计 25 75 100 （1）根据以上数据，判断是否有的把握认为该经营户购进的这批苹果的大小达标和色泽达标有关； （2）该经营户对三个等级的苹果按照分层抽样从样本中抽取10个苹果，再从中随机抽取3个，求抽到二级果个数的概率分布列和数学期望． 附： 0.050 0.025 0.010 3.841 5.024 6.635 ，其中． 4．如图，在四棱锥中，底面是梯形，，，，是正三角形，，是棱的中点． （1）证明：平面平面； （2）若二面角的大小为，求的边长． 5．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，点满足以为直径的圆过椭圆的上顶点． （1）求椭圆的方程； （2）已知直线过右焦点与椭圆交于，两点，在轴上是否存在点使得为定值？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，说明理由． 6．已知函数，． （1）求函数在处的切线方程； （2）是否存在正数的值使得对任意，恒成立？证明你的结论． （3）求证：在，上有且仅有两个零点． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 大题限时练十 1．在中，，，分别是内角，，的对边，且满足． （1）求角大小； （2）若为锐角三角形，且，求周长的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）因为． 由正弦定理可得，， ， 即， 所以， 所以， ， ， 故， （2）由题意可得，，解可得，， 由正弦定理可得，， 故，， ，， 所以，， 2．已知数列满足：，． （1）求证：； （2）求证： 【答案】见解析 【解析】证明：（1）由题意，可知： ， ， 数列是单调递增数列． 又， ， ． ． （2）由题意，可知： ， ． 即： ． ． 由，得： ， ． ．命题得证． 3．某水果经营户对出售的苹果按大小和色泽两项指标进行分类，最大横切面直径不小于70毫米则大小达标，着色度不低于则色泽达标，大小和色泽均达标的苹果为一级果；大小和色泽有一项达标另一项不达标的苹果为二级果；两项均不达标的苹果为三级果． 已知该经营户购进一批苹果，从中随机抽取100个进行检验，得到如下统计表格： 直径小于70毫米 直径不小于70毫米 合计 着色度低于 10 15 25 着色度不低于 15 60 75 合计 25 75 100 （1）根据以上数据，判断是否有的把握认为该经营户购进的这批苹果的大小达标和色泽达标有关； （2）该经营户对三个等级的苹果按照分层抽样从样本中抽取10个苹果，再从中随机抽取3个，求抽到二级果个数的概率分布列和数学期望． 附： 0.050 0.025 0.010 3.841 5.024 6.635 ，其中． 【答案】见解析 【解析】（1）由于， 所以有的把握认为该经营户购进的这批苹果的大小达标和色泽达标有关； （2）对三个等级的苹果按照分层抽样从样本中抽取10个，则一级果6个，二级果3个，三级果1个， 由题意，二级果的个数的可能值为0，1，2，3， 则，，，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以的数学期望． 4．如图，在四棱锥中，底面是梯形，，，，是正三角形，，是棱的中点． （1）证明：平面平面； （2）若二面角的大小为，求的边长． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】（1）证明：如图所示： 取中点，连结． 因为是棱的中点，所以，且， 因为， 所以，， 所以四边形是平行四边形， 所以． 因为，所以， 所以． 因为是正的边的中点，所以． 因为，平面，， 所以平面． 因为平面，所以． 因为，，平面，， 所以平面． 因为平面， 所以面平面． （2）解：取中点，由（1）知，以为坐标原点，，为，轴， 平行于的直线为轴，如图建立空间直角坐标系． 设正三角形的边长为， 则，0，，，0，，，4，，， 所以． 设平面的一个法向量， 则， 令，则，所以． 又平面的一个法向量， 因为二面角的大小为， 所以， 解得， 所以正三角形的边长为． 5．已知椭圆的