专题08 【大题限时练八】-备战2023年江苏高考数学满分限时题集

专题08 大题限时练八 1．在中，角，，所对的边分别为，，，且，．若是的中点，且，求的面积． 2．已知等比数列的前项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）在数列中的和之间插入个数，，，，，使，，，，，，成等差数列，这样得到一个新数列，设数列的前项和为，求． 3．某高校的入学面试中有编号为，，的3道试题，每位面试者依次作答这3道试题．面试共有3次机会，只要答对其中一道题面试即通过，无需继续答题，否则就作答下一题，直到3次答题机会全部用完．该校规定：答对题通过者得30分，答对题通过者得20分，答对题通过者得10分，未通过面试者得0分．若小明同学答对题的概率是，答对题的概率是，答对题的概率是，且各题作答相互独立． （1）求小明同学答题不超过2道的概率； （2）记小明同学得分为分，求的概率分布及数学期望． 4．图1是由矩形、等边和平行四边形组成的一个平面图形，其中，，为的中点．将其沿，折起使得与重合，连结，，如图2． （1）证明：在图2中，，且，，，四点共面； （2）在图2中，若二面角的大小为，且，求直线与平面所成角的正弦值． 5．已知椭圆的离心率为，且椭圆的右焦点到右准线的距离为．点是第一象限内的定点，点，是椭圆上两个不同的动点（均异于点，且直线，的倾斜角互补． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线的斜率，求点的坐标． 6．已知实数，函数，是自然对数的底数． （1）当时，求函数的单调区间； （2）求证：存在极值点，并求的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 大题限时练八 1．在中，角，，所对的边分别为，，，且，．若是的中点，且，求的面积． 【答案】 【解析】在中，由余弦定理可得， 即，可得，，则为等腰直角三角形， 由，可得， 在中，，， 由正弦定理可得， 即，所以， 所以的面积为． 2．已知等比数列的前项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）在数列中的和之间插入个数，，，，，使，，，，，，成等差数列，这样得到一个新数列，设数列的前项和为，求． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）设等比数列的公比为， 由①，②， 得，，所以， 因为，所以， 故数列的通项公式为． （2）由题意知，数列的前21项为，，，，，，，，，，，，， 即数列1，，2，，，4，，，，8，，，32， 因为，，，，，，成等差数列， 所以 ． 3．某高校的入学面试中有编号为，，的3道试题，每位面试者依次作答这3道试题．面试共有3次机会，只要答对其中一道题面试即通过，无需继续答题，否则就作答下一题，直到3次答题机会全部用完．该校规定：答对题通过者得30分，答对题通过者得20分，答对题通过者得10分，未通过面试者得0分．若小明同学答对题的概率是，答对题的概率是，答对题的概率是，且各题作答相互独立． （1）求小明同学答题不超过2道的概率； （2）记小明同学得分为分，求的概率分布及数学期望． 【答案】见解析 【解析】（1）由题可知小明同学答题1道的概率为， 小明同学答题2道的概率为， 所以小明同学答题不超过2道的概率． （2）由题可知可取30，20，10，0，则 ，，，， 的概率分布为： 30 20 10 0 ． 4．图1是由矩形、等边和平行四边形组成的一个平面图形，其中，，为的中点．将其沿，折起使得与重合，连结，，如图2． （1）证明：在图2中，，且，，，四点共面； （2）在图2中，若二面角的大小为，且，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】（1）证明：取的中点，连接，，如图， 因为矩形、为的中点．则，又因为为等边三角形，则， ，，平面，则有平面，又平面， 所以，矩形中，，平行四边形中，，因此， 所以，，，四点共面； （2）由（1）知，，，则为二面角的平面角，， 在平面内过作，有，以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， ，0，，，，，，0，，，，，，，， ，，，，，， 设平面的一个法向量为，，， 则，即，令，则，， 平面的一个法向量为，，， 由，，，，，，， 设直线与平面所成的角为， ，， 直线与平面所成角的正弦值． 5．已知椭圆的离心率为，且椭圆的右焦点到右准线的距离为．点是第一象限内的定点，点，是椭圆上两个不同的动点（均异于点，且直线，的倾斜角互补． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线的斜率，求点的坐标． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）由椭圆的离心率，右焦点，右准线为， 则，解得，，因此， 所以椭圆的方程为：； （2）直线的斜率，设直线的方程为，，，，，，， 联立方程组，，消去，整理得， 所以，， 由直线，的倾斜角互补．则， 所以， 所以， 所以， 因此，， 所以， 因为点在第一象限， 所以，，所以， 点的坐标．