2023年中考数学专题——相似三角形与圆的综合

2023年中考数学专题——相似三角形与圆的综合 1．如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，CE⊥AD，交AD的延长线于点E． （1）求证：∠BDC=∠A； （2）若CE=4，DE=2，求AD的长． 2．在直角坐标系中， 的圆心M在y轴上， 与x轴交于点A、B，与y轴交于点C、D，过点A作 的切线AP交y轴于点P，若点C的坐标为（0，-2），点A的坐标为（4，0）， （1）求证：∠PAC= ∠CAO； （2）求 的半径r； （3）求直线PA的解析式； 3．如图，BD为⊙O的直径，AB=AC，AD交BC于点E，AE=2，ED=4， （1）求证：△ABE∽△ADB； （2）求AB的长； （3）延长DB到F，使得BF=BO，连接FA，试判断直线FA与⊙O的位置关系，并说明理由． 4．如图，AB是⊙O的弦，点C为半径OA的中点，过点C作CD⊥OA交弦AB于点E，连接BD，且DE=DB． （1）判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若CD=15，BE=10，tanA= ，求⊙O的直径． 5．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E，连接BC交AD于点F． （1）猜想ED与⊙O的位置关系，并证明你的猜想； （2）若AB=6，AD=5，求AF的长． 6．如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦CD⊥AB，垂足为E，且PC2=PE•PO． （1）求证：PC是⊙O的切线． （2）若OE：EA=1：2，PA=6，求⊙O的半径． 7．如图，已知：AB是⊙O的弦，过点B作BC⊥AB交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，取AD的中点E，过点E作EF∥BC交DC的延长线于点F，连接AF并延长交BC的延长线于点G． 求证： （1）FC=FG； （2）AB2=BC•BG． 8．如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF= ∠CAB． （1）求证：直线BF是⊙O的切线； （2）若AB=5，sin∠CBF= ，求BC和BF的长． 9．如图所示，⊙O的内接△ABC中，∠BAC=45°，∠ABC=15°，AD∥OC并交BC的延长线于D点，OC交AB于E点． （1）求∠D的度数； （2）求证：AC2=AD•CE． 10．如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，交斜边AC于点D，点E为OB的中点，连接CE并延长交⊙O于点F，点F恰好落在 的中点，连接AF并延长与CB的延长线相交于点G，连接OF． （1）求证：OF= BG； （2）若AB=4，求DC的长． 11．如图，在△ABC中，点D是AC边上一点，AD=10，DC=8．以AD为直径的⊙O与边BC切于点E，且AB=BE （1）求证：AB是⊙O的切线； （2）过D点作DF∥BC交⊙O于点F，求线段DF的长． 12．如图，在 中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，且 ，垂足为点E．过点C作 交AD的延长线于点F，连接BF，交⊙O于点G，连接DG． （1）求证：DE为⊙O的切线； （2）求证：四边形ABFC为菱形； （3）若OA=5，FG=4，求线段DG的长． 13．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB． （1）求证：PC是⊙O的切线； （2）求证：BC= AB； （3）点M是 的中点，CM交AB于点N，若AB=4，求MN•MC的值． 14．如图，在△ABC中，E是AC边上的一点，且AE=AB，∠BAC=2∠CBE，以AB为直径作⊙O交AC于点D，交BE于点F． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）若AB=8，BC=6，求DE的长． 15．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是AC的中点，且∠A+∠CDB=90°，过点A，D作⊙O，使圆心O在AB上，⊙O与AB交于点E． （1）求证：直线BD与⊙O相切； （2）若AD：AE= ： ，BC=6，求切线BD的长． 16．如图，在△ABC中，D为AC上一点，且CD=CB，以BC为直径作⊙O，交BD于点E，连接CE，过D作DF⊥AB于点F，∠BCD=2∠ABD． （1）求证：AB是⊙O的切线； （2）若∠A=60°，DF= ，求⊙O的直径BC的长． 17．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆． （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）过点E作EH⊥AB，垂足为H，求证：CD=HF； （