专题3 第1讲 简单几何体的表面积和体积（教师用书）-【正禾一本通】2023高考数学高三二轮专题复习高效讲义（新教材老高考）

专题三　立体几何 第一讲　简单几何体的表面积和体积　► 对应学生用书P33 核心考点(一)　几何体的表面积与体积 【核心知识】 1．旋转体的侧面积和表面积 (1)S圆柱侧＝2πrl，S圆柱表＝2πr(r＋l)(r为底面半径，l为母线长). (2)S圆锥侧＝πrl，S圆锥表＝πr(r＋l)(r为底面半径，l为母线长). (3)S球表＝4πR2(R为球的半径). 2．空间几何体的体积公式 V柱＝Sh(S为底面面积，h为高)； V锥＝Sh(S为底面面积，h为高)； V球＝πR3(R为球的半径). 角度1　空间几何体的表面积 【例1】(1)若正三棱台上、下底面边长分别是a和2a，棱台的高为a，则此正三棱台的侧面积为(　　 ) A．a2 B．a2 C．a2 D．a2 解析：选C.如图， 设O1，O分别为上、下底面的中心，D，D1分别是AC，A1C1的中点，过D1作D1E⊥OD于点E.在直角梯形ODD1O1中，OD＝××2a＝a，O1D1＝××a＝a，∴DE＝OD－O1D1＝a.在Rt△DED1中，D1E＝a，则D1D＝＝＝a.∴S侧＝3×(a＋2a)a＝a2. (2)(2021·全国高考甲卷)已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30π，则该圆锥的侧面积为________． 解析：∵V＝π×62×h＝30π， ∴h＝， ∴l＝＝＝， ∴S侧＝πrl＝π×6×＝39π. 答案：39π 【解题方法】———————————————————————————————● 求几何体的表面积的方法 (1)求表面积问题的思路是将立体几何问题转化为平面图形问题，即空间图形平面化，这是解决立体几何的基本思想． (2)求不规则几何体的表面积时，通常将所给的几何体分割成柱、锥、台体，先求这些柱、锥、台体的表面积，再通过求和或作差求得所给几何体的表面积． 【对点练】1.已知正四棱锥的侧面与底面所成的锐二面角为θ，若θ＝30°，侧棱长为，则(　　 ) A．正四棱锥的底面边长为4 B．正四棱锥的底面边长为3 C．正四棱锥的侧面积为24 D．正四棱锥的侧面积为12 解析：选C. 如图，在正四棱锥S－ABCD中，O为正方形ABCD的中心，SH⊥AB，设底面边长为2a(a＞0)，因为∠SHO＝30°，所以OH＝a，OS＝a，SH＝a，在Rt△SAH中，a2＋＝21，所以a＝3，底面边长为6，侧面积为S＝×6×2×4＝24. 角度2　空间几何体的体积 【例2】(1)(2022·新高考Ⅰ卷)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库．已知该水库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为140.0 km2；水位为海拔157.5 m时，相应水面的面积为180.0 km2，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5 m上升到157.5 m时，增加的水量约为(≈2.65)(　　) A．1.0×109 m3 B．1.2×109 m3 C．1.4×109 m3 D．1.6×109 m3 解析：选C．由题意知棱台的两底面积分别为1.4×108m2和1.8×108m2，高为157.5－148.5＝9(m)，所以棱台的体积V＝×(1.4×108＋1.8×108＋)×9＝3×108×(1.4＋1.8＋0.6×)≈1.437×109≈1.4×109(m3)，故选C． (2)(2022·全国高考甲卷)甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为V甲和V乙．若＝2，则＝(　　) A． B．2 C． D． 解析：选C．设圆锥甲、乙的母线长为R，高分别为h甲，h乙，底面圆的半径分别为r甲，r乙，侧面展开图的圆心角分别为α甲，α乙．因为＝2，所以＝2，得＝2.因为甲、乙侧面展开图的圆心角之和为2π，所以α甲＝，α乙＝，所以甲、乙底面圆周长分别为πR，πR，所以r甲＝R，r乙＝R.则h＝R2－r＝R2－R2＝R2，h＝R2－r＝R2－R2＝R2，所以h甲＝R，h乙＝R.根据圆锥的体积公式，可得V甲＝h甲πr＝×R×R2π＝R3π，V乙＝h乙πr＝×R×R2π＝R3π，所以＝＝，故选C． 【解题方法】———————————————————————————————● 求空间几何体体积的常用方法 公式法 直接根据常见柱、锥、台等规则几何体的体积公式计算 等积法 根据体积计算公式，通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容易，或是求出一些体积比等 割补法 把不能直接计算体积的空间几何体进行适当的分割或补形，转化为可计算体积的几何体 【对点练】2.某广场设置了一些多面体形或球形的石凳供市民休息．如图