专题5 第3讲 圆锥曲线中的热点问题（教师用书）-【正禾一本通】2023高考数学高三二轮专题复习高效讲义（新教材新高考）

第三讲　圆锥曲线中的热点问题　► 对应学生用书P81

核心考点(一)　圆锥曲线中的最值、范围问题

【核心知识】

1．求解范围问题的方法

求范围问题的关键是建立求解关于某个变量的目标函数，通过求这个函数的值域确定目标的范围．在建立函数的过程中要根据题目的其他已知条件，把需要的量都用我们选用的变量表示，有时为了运算的方便，在建立关系的过程中也可以采用多个变量，只要在最后结果中把多变量归结为单变量即可，同时要特别注意变量的取值范围．

2．圆锥曲线中常见的最值问题及解题方法

(1)两类最值问题：①涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；②求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时与之相关的一些问题．

(2)两种常见解法：①几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决；

②代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值，最值常用基本不等式法、配方法或导数法解决．

角度1　求线段长度、三角形面积的最值

【例1】(2022·全国甲卷)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点D，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，＝3.

(1)求C的方程；

(2)设直线MD，ND与C的另一个交点分别为A，B，记直线MN，AB的倾斜角分别为α，β.当α－β取得最大值时，求直线AB的方程．

解：(1)抛物线的准线为x＝－，当MD与x轴垂直时，点M的横坐标为p，

此时＝p＋＝3，所以p＝2，

所以抛物线C的方程为y2＝4x.

(2)设M，N，A，B，直线MN：x＝my＋1，

由可得y2－4my－4＝0，Δ>0，y1y2＝－4，

由斜率公式可得kMN＝＝，kAB＝＝，

直线MD：x＝·y＋2，代入抛物线方程可得y2－·y－8＝0，

Δ>0，y1y3＝－8，所以y3＝2y2，同理可得y4＝2y1，

所以kAB＝＝＝，

又因为直线MN、AB的倾斜角分别为α，β，

所以kAB＝tan β＝＝，

若要使α－β最大，则β∈，

设kMN＝2kAB＝2k>0，则tan ＝＝＝≤＝，

当且仅当＝2k，即k＝时，等号成立，

所以当α－β最大时，kAB＝，设直线AB：x＝y＋n，

代入抛物线方程可得y2－4y－4n＝0，

Δ>0，y3y4＝－4n＝4y1y2＝－16，所以n＝4，

所以直线AB：x＝y＋4.

【解题方法】———————————————————————————————●

目标函数法解圆锥曲线有关最值问题的解题模型

【对点练】1.(2021·山西太原五中月考)如图所示，过抛物线y2＝4x的焦点F作互相垂直的直线l1，l2，l1交抛物线于A，B两点(A在x轴上方)，l2交抛物线于C，D两点，交其准线于点N.

(1)求四边形ACBD的面积的最小值；

(2)若直线AN与x轴的交点为Q，求△AQB面积的最小值．

解：(1)由已知可知直线AB的斜率必存在，

设直线AB的斜率为k(k≠0)，抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，

则lAB：y＝k(x－1)与抛物线联立，⇒k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

|AB|＝x1＋x2＋2＝4＋，同理，|CD|＝4＋4k2，

则四边形ACBD的面积为S＝|AB|·|CD|＝·4·4(1＋k2)＝8≥8(2＋2)＝32，

当且仅当k＝±1时，四边形ACBD的面积的最小值为32.

(2)设lAB：x＝my＋1，代入y2＝4x，化简得y2－4my－4＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2).由题意可得lAN：x＋1＝(y－2m)，

令y＝0，得xQ＝－1＝.

由y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，得m＝－，又x1＝y，

所以xQ＝＝＝＝＝－x1.

所以S△AQB＝|QF||y1－y2|＝(x1＋1)|y1－y2|

＝(x1＋1)＝2(x1＋1)＝2＝.