专题1 满分规范答题(1) 三角函数及解三角形（教师用书）-【正禾一本通】2023高考数学高三二轮专题复习高效讲义（新教材新高考）

满分规范答题(一)　三角函数及解三角形 【典例示范】 (2022·全国乙卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C sin (A－B)＝sin B sin (C－A). (1)证明：2a2＝b2＋c2； (2)若a＝5，cos A＝，求△ABC的周长． 【审题思路】 1.化简题设条件用哪些公式？ 提示：利用两角差的正弦公式 2.结论是证明边的等式，利用哪些定理将角化为边？ 提示：利用正弦定理和余弦定理将角化为边 3.结论是求△ABC的周长，根据题设需要求哪些量？ 提示：需要求边b，c或求出b＋c 【满分作答】(1)证明：因为sin C sin ＝sin B sin ， 所以sin C sin A cos B－sin C sin B cos A＝sin B sin C cos A－sin B sin A cos C， sin C sin A cos B＋sin B sin A cos C＝2sin B sin C cos A， 2分 (应用两角差的正弦公式，将复角化为单角) 所以ac·－2bc·＝－ab·， 3分 (应用正弦定理，余弦定理将角化为边) 即－＝－， 4分 所以2a2＝b2＋c2. 5分 (化简整理) (2)因为a＝5，cos A＝， 由(1)得b2＋c2＝50， 6分 (应用题设得到边b，c的一个等式) 由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bc cos A，则50－bc＝25， 所以bc＝， 7分 (应用余弦定理得到边b，c的第二个等式) 故＝b2＋c2＋2bc＝50＋31＝81， 8分 所以b＋c＝9， 9分 (利用整体思维，得到b＋c) 所以△ABC的周长为a＋b＋c＝14. 10分 【满分心得】———————————————————————————————● (1)写全得分步骤：对于解题过程中是得分点的步骤，有则给分，无则没分，所以对于得分点步骤一定要写全，如第(1)问由两角差的正弦公式整理出关于A，B，C的三角关系式；第(2)问由余弦定理性质得到a，b，c的关系，有此步骤得分，无则扣分． (2)写明得分关键：对于解题过程中的关键点，有则给分，无则没分，所以在答题时一定要写清得分关键点，如第(1)问将角化为边；第(2)问注意利用整体思维，得到b＋c是关键，关键点也是得分点，必要步骤要写全． 【满分训练】 在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且2b－c＝2a cos C. (1)求A； (2)若△ABC为锐角三角形，c＝2，求b的取值范围． 解：(1)因为2b－c＝2a cos C， 由正弦定理得2sin B－sin C＝2sin A cos C， 又sin B＝sin [π－(A＋C)]＝sin (A＋C)， 所以2(sin A cos C＋cos A sin C)－sin C＝2sin A cos C， 所以2cos A sin C－sin C＝0. 因为0<C<π，所以sin C≠0，所以cos A＝. 因为A∈(0，π)，所以A＝. (2)由(1)得A＝， 根据题意得解得<C<. 在△ABC中，由正弦定理得＝， 所以b＝＝＝＝1＋. 因为<C<，所以tan C∈(，＋∞)， 所以∈(0，3)，所以1＋∈(1，4). 故b的取值范围为(1，4). 学科网（北京）股份有限公司 $