专题21 勾股定理-【题型方法解密】2023年中考数学一轮复习满分突破（全国通用）

专题21 勾股定理 【考查题型】 【知识要点】 知识点一 勾股定理 勾股定理的概念：如果直角三角形的两直角边分别为，，斜边为，那么。 变式：，，,,. 适用范围：勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形。用拼图的方法验证勾股定理的思路是： 1）图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 2）根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 勾股定理的证明方法： 方法一（图一）：，，化简可证． 方法二（图二）：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为 大正方形面积为，所以 方法三（图三）：，，化简得证 图一 图二 图三 知识点二 勾股数 勾股数概念：能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，，，为正整数时，称，，为一组勾股数 常见的勾股数：如；；；等 扩展：用含字母的代数式表示组勾股数： 1）（为正整数）； 2）（为正整数） 3）（，为正整数） 注意：每组勾股数的相同整数倍，也是勾股数。 知识点三 勾股定理的逆定理 勾股定理的逆定理内容：如果三角形三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边 【注意】 1）勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较，若它们相等时，以，，为三边的三角形是直角三角形；若，时，以，，为三边的三角形是钝角三角形；若，时，以，，为三边的三角形是锐角三角形； 2)定理中，，及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长，，满足，那么以，，为三边的三角形是直角三角形，但是为斜边 3)勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形 知识点四 直角三角形的性质与判定 性质：1）直角三角形的两个锐角互余。 2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 3）直角三角形中30°角所对的边是斜边的一半。 判定：1）有一个角是直角的三角形是直角三角形。 2）如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 3）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有关系，那么这个三角形是直角三角形。 考查题型一 由勾股定理解三角形 典例1．（2022·浙江金华·中考真题）如图是城市某区域的示意图，建立平面直角坐标系后，学校和体育场的坐标分别是，下列各地点中，离原点最近的是（    ） A．超市 B．医院 C．体育场 D．学校 变式1-1．（2022·陕西·中考真题）如图，是的高，若，，则边的长为（    ） A． B． C． D． 变式1-2．（2022·湖南邵阳·中考真题）如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，若AB=3，则⊙O的半径是（    ） A． B． C． D． 变式1-3．（2022·甘肃兰州·中考真题）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为AD的中点，连接OE，，，则（    ） A．4 B． C．2 D． 变式1-4．（2022·广西桂林·中考真题）如图，在ABC中，∠B＝22.5°，∠C＝45°，若AC＝2，则ABC的面积是（    ） A． B．1+ C．2 D．2+ 变式1-5．（2022·四川资阳·中考真题）如图，正方形的对角线交于点O，点E是直线上一动点．若，则的最小值是(   ) A． B． C． D． 变式1-6．（2022·湖北黄石·中考真题）如图，正方形的边长为，将正方形绕原点O顺时针旋转45°，则点B的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 变式1-7．（2022·山东青岛·中考真题）如图，O为正方形对角线的中点，为等边三角形．若，则的长度为（    ） A． B． C． D． 变式1-8．（2022·四川宜宾·中考真题）如图，在矩形纸片ABCD中，，，将沿BD折叠到位置，DE交AB于点F，则的值为（    ） A． B． C． D． 变式1-9．（2022·四川成都·中考真题）若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是_________． 变式1-10．（2022·黑龙江牡丹江·中考真题）在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，AC=6，BC=8，CD=_______． 变式1-11．（2022·甘肃武威·中考真题）如图，菱形中，对角线与相交于点，若，，则的长为_________cm． 考查题型二 利用勾股定理解决折叠