专题10 平行线中点模型与雨伞模型-【题型方法解密】2023年中考数学一轮复习满分突破（全国通用）

专题10 平行线中点模型与雨伞模型 平行线中点模型概述：平行线之间夹中点，通过延长过中点的线段与平行线相交，从而构造一对全等三角形，并将已知条件中的线段和角进行转移。 平行线中点模型：已知AB∥CD，点E，F分别在直线AB、CD上，点O为线段EF的中点，延长PO交CD于点Q，则∆POE ≌ ∆QOF 证明: ∵AB∥CD ∴∠PEO =∠OFQ ∵点O为线段EF的中点 ∴EO=OF 在∆POE和∆QOF中 ∠PEO =∠OFQ EO=OF ∠POE =∠QOF ∴∆POE ≌ ∆QOF（ASA） 雨伞模型：如图AP平分∠BAC，BD⊥AP，垂足为点D，延长BD交AC于点C, 则∆ABD ≌ ∆ACD，AB=AC，BD=CD 证明：∵AP平分∠BAC ∴∠BAD=∠CAD ∵BD⊥AP ∴∠BDA=∠CDA 在∆ABD和∆ACD中 ∠BAD=∠CAD AD=AD ∠BDA=∠CDA ∴∆ABD ≌ ∆ACD（ASA） ∴AB=AC，BD=CD 【平行线中点模型过关练】 1．如图，正方形的边长为，在正方形的右侧作矩形，点在边的延长线上，，点，，在同一条直线上，，连接，点是的中点，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 2．矩形ABCD与矩形CEFG如图放置，点B、C、E共线，点C、D、G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH．若BC＝EF＝3，CD＝CE＝1，则GH＝_______． 3．如图，□ABCD的顶点C在等边的边BF上，点E在AB的延长线上，G为DE的中点，连接CG．若，，则BG的长为______． 4．如图，▱ABCD的顶点C在等边△BEF的边BF上，点E在AB的延长线上，G为DE的中点，连接CG．若AD＝3，AB＝CF＝2，则CG的长为 _____． 5．如图，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，过点E作EG⊥AD于G，连接GF．若∠A=80°，则∠DGF的度数为___________． 6．如图，已知等边三角形的边长为4，过边上一点P作于点E，Q为延长线上一点，取，连接，交于M，则的长为______． 7．如图，在等边△ABC中，点D是边AB上一点，E是BC延长线上一点，CE＝DA，连接DE交AC于点F，过点D作DG⊥AC于点G，过点D作DH∥BC交AC于点H． (1)求证：AG＝AD； (2)求证：DF＝EF； (3)若CF＝CE，S△ADG＝2，求△DGF的面积． 8．（1）老师在课上给出了这样一道题目：如图（1），等边△ABC边长为2，过AB边上一点P作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，且AP=CQ，连接PQ交AC于D，求DE的长. 小明同学经过认真思考后认为，可以通过过点P作平行线构造等边三角形的方法来解决这个问题.请根据小明同学的思路直接写出DE的长. （2）【类比探究】 老师引导同学继续研究： ①等边△ABC边长为2，当P为BA的延长线上一点时,作PE⊥CA的延长线于点E ，Q为边BC上一点，且AP=CQ，连接PQ交AC于D．请你在图（2）中补全图形并求DE的长. ②已知等边△ABC，当P为AB的延长线上一点时,作PE⊥射线AC于点E， Q为哪一个（①BC边上；②BC的延长线上；③CB的延长线上）一点，且AP=CQ，连接PQ交直线AC于点D，能使得DE的长度保持不变.( 直接写出答案的编号)      9．在数学综合实践课上，老师给出了下列问题． (1)探究结论 在图1中，，点P是两平行线之间的一点，则，，之间的关系是_______． (2)应用结论 在图2中，，PB平分，，若为等腰三角形，求的度数_______． (3)拓展延伸 在图3中，，点P是的中点，．试判断AB，AC，BD之间有什么关系，并说明理由． 10．【问题情境】兴趣小组活动时，老师提出了如下问题，如图1，在△ABC中， AB＝16，AC＝10，求BC边上的中线AD的取值范围．经过小组合作交流，卓越小组得到了如下的解决方法：延 AD至点E，使DE＝AD，连接BE．勤思小组得到的方法是，过点B作直线AC的平行线BE，并交AD的延长线于点E．请结合两个小组提供的方法思考： (1)图1中，BC边上的中线AD长度的取值范围是 ； (2)【灵活运用】如图 2，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试猜想线段AB、AD、DC之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)【拓展延伸】如图3，已知AB∥CF，点E是BC的中点，点D在线段AE上，若AB＝10，CF＝4，DF＝6，求证∠EDF＝∠BAE． 11．如图1，四边形ABCD是平行四边形，点E在边AD上，连接BE，过点D作DFBE，交BC于点F，点G，H分别是BE，D