考点13 抛物线焦点弦12个常用结论及其4个应用-【考点通关】2022-2023学年高二数学题型归纳与解题策略(人教A版2019选择性必修第一册)

考点13 抛物线焦点弦12个常用结论及其4个应用 1、抛物线焦点弦的常用结论 设抛物线方程为，准线与轴相交于点，过焦点的直线与抛物线相交于两点，为原点，为与对称轴正向所成的角，的中点为，又作，垂足分别为，则 （1）． 证明：因为焦点坐标为，当AB不垂直于x轴时，可设直线AB的方程为：，由得：，，． 当轴时，直线AB方程为，则，，∴，同上也有：． （2） 焦半径长公式：（坐标式）； 夹角式：（在轴上方，在轴下方）． 证明：由抛物线的定义易得． 又，同理可证． （3） 焦点弦长公式：． 证明：由（2）可得弦长： （4） 通径长公式：（通径最短）． 证明：当轴时，直线AB方程为，则，，∴通径长公式：． （5） AF，BF的数量关系：． 证明：由，得，又 ， ． （6） 三角形AOB的面积：． 证明：点到直线的距离就是的高，， ． （7） 中点弦斜率：若斜率为，，则． 证明：，由点差法得 （8） 直线的斜率之和为零，即． 证明：，， ， 分子， 直线的斜率之和为零：，即． （9）焦点弦与圆有关的结论 ①以为直径的圆与准线相切；（以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切） ②以为直径的圆与轴相切； ③以为直径的圆与轴相切； ④分别以为直径的圆之间的关系：圆与圆外切；圆与圆既与轴相切，又与圆相内切． 证明：过点作于，则是梯形的中位线，由抛物线的定义知 ， 即以为直径的圆与准线相切，同理可证②，③． ④分别以为直径的圆有以下关系：圆与圆外切；圆与圆既与轴相切，又与圆相内切． 拓展：过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切 已知AB是抛物线的过焦点F的弦，分别过点A、B作准线的垂线，垂足为点M、N，求证：以MN为直径的圆与直线AB相切. （10）由焦点弦得出有关直线垂直关系的结论 ①以为直径的圆的圆心在准线上的射影与两点的连线互相垂直，即； ②以为直径的圆的圆心在轴上的射影与两点的连线互相垂直，即； ③以为直径的圆的圆心在轴上的射影与两点的连线互相垂直，即； ④以为直径的圆必过原点，即； ⑤． 证明：①准线与圆相切，圆的圆心在准线上的射影就是切点， 直径所对的圆周角是直角，．同理可证②，③：． ④由抛物线的定义知，////， ，而，即． ⑤易知，又． （11） 点三点共线；点三点共线． 证明：由（1）知． 点三点共线．同理可证：点三点共线． （12）如图，点A，B是抛物线，O为原点，若，则直线AB过定点． 证明：．设，则 ，直线方程为， 即，直线AB过定点． 2、 与抛物线焦点弦有关的比例问题 一般地，与抛物线焦半径有关的比例问题，可采用构造相似三角形，寻找相似比例进行转化. 已知抛物线E：的焦点为，准线为.过点的的直线m与E交于A，B两点，与y轴交于点C，与交于点D.过点A，B，C，D分别作两轴的垂线，可构成如图的多对相似三角形，如：，因此有；如，因此有等。一般地，为了利用比例进行转化，需要用两个条件：一是利用抛物线的定义进行转化；二是要把比例式转化成含有（即含p）的比例式. 考点一 与抛物线有关的焦点弦的几何性质 1．（2023·河南信阳·河南省信阳市第二高级中学校联考一模）倾斜角为的直线过抛物线的焦点F，与该抛物线交于点 ，且以为直径的圆与直线相切，则（    ） A．4 B． C． D． 2．（2023秋·湖北·高二赤壁一中校联考期末）已知抛物线的方程为，为抛物线的焦点，倾斜角为的直线过点交抛物线于，两点，则线段的长为______. 3．（2021秋·广东·高三统考阶段练习）直线过抛物线的焦点交抛物线于、两点.若，为原点，则的重心的横坐标为（    ） A．4. B．8 C．16 D．24 4．（2022秋·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）已知抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于两点（在第一象限），若，则直线的斜率为_______. 5．【多选】（2023秋·安徽淮北·高二淮北一中校考期末）已知，是抛物线上的两点，若直线过抛物线的焦点且倾斜角为.则下列命题正确的是（    ） A． B． C． D． 6．【多选】（2023秋·湖北·高二赤壁一中校联考期末）已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与交于，两点，分别过，作的垂线，垂足为，，，，为中点，则下列结论正确的是（    ） A．直线的斜率为 B．为等腰直角三角形 C． D．，，三点共线 7．【多选】（2022秋·浙江宁波·高二效实中学校考期中）已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线交抛物线于两点，线段的中点为，在上的射影分别为，下列结论正确的为（    ） A． B． C． D． 8．（2022秋·天津滨海新·高二天津市滨海新区塘沽第一中学校考期末）已知抛物线的焦点为为上一点，且在第一象限，直线与的准线交于点，过点且与轴平行的直