7.3.1 正弦函数的性质与图像-【题型分类归纳】2022-2023学年高一数学同步讲与练(人教B版2019必修第三册)

7.3.1 正弦函数的性质与图像 一、正弦函数的性质 1、定义域与值域 的定义域为，值域为 当且仅当，时，函数的最大值为； 当且仅当，时，函数的最大值为； 2、奇偶性：正弦函数是奇函数，其图像关于原点中心对称。 3、周期性 （1）定义：对于函数，定义域为I，当时，都有，其中T是一个非零的常数，则是周期函数，T是它的一个周期； （2）最小正周期：对于一个周期函数，如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小整数就称为的最小正周期，三角函数中的周期一般都指最小正周期； （3）函数的最小正周期为. 4、单调性：在上单调递增，在上单调递减（） 5、正弦函数的零点：正弦函数的零点是 二、正弦函数的图像 1、图像 2、对称轴与对称中心：对称轴方程；对称中心（） 3、五个关键点：,,,, 4、注意事项：（1）作正弦函数图像时，函数自变量要用弧度制，以保证自变量与函数值都为实数； （2）在精确度要求不高的情况下，“五点法”是一种实用、高效的作图方法，需要注意这五个点要用平滑的曲线连接，而不能用线段连接； （3）五个关键点是利用五点法作图的关键，要熟记并区分正弦函数图像中的五个关键点。 三、“五点法”作函数的图像 （1）列表：以正弦函数的五点为基础，列出函数的五点； （2）描点：将函数的五点在坐标系中描出来； （3）连线：利用平滑的曲线将点连接起来，注意不能用折线连接。 四、求最小正周期常用的方法 1、定义法：即观察出周期，再用定义来验证；也可由函数所具有的某些性质推出使成立的； 2、图像法：即作出的图像，观察图像可求出，如； 3、结论法：一般地，函数(其中为常数，)的周期为 五、用三角函数图像解三角不等式的步骤 1、作出相应正弦函数在[0,2π]上的图象； 2、写出适合不等式在区间[0,2π]上的解集； 3、根据公式一写出不等式的解集． 题型一 五点作图法画正弦函数图像 【例1】用“五点法”作y＝2sin2x的图象，首先描出的五个点的横坐标是（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】函数，的简图是（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】用五点描点法作下列函数的图像： （1）； （2）. 【变式1-3】作出函数的大致图像. 题型二 与正弦函数有关的零点问题 【例2】函数，的图像与直线的交点的个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式2-1】已知函数f(x)=-sinx，则f(x)在区间[0，2π]上的零点个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2-2】设为常数，且满足，且的的值只有一个，则实数的值为（ ） A． B． C． D．或 【变式2-3】函数的图象与直线有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式2-4】已知关于的方程在内有解，那么实数的取值范围（ ） A． B． C． D． 【变式2-5】已知函数，则方程在的解的个数为（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 题型三 利用正弦函数图像解不等式 【例3】不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【变式3-1】在内，不等式的解集是（ ） A．(0，π) B． C． D． 【变式3-2】函数y＝的定义域是________． 【变式3-3】函数的定义域为___________. 题型四 正弦函数的周期性 【例4】函数的最小正周期是（ ） A． B． C． D． 【变式4-1】下列函数的最小正周期为的是（ ） A． B． C． D． 【变式4-2】下列函数中为周期是的偶函数是（ ） A． B． C． D． 【变式4-3】下列函数不是周期函数的是（ ） A． B． C． D． 题型五 正弦函数的奇偶性 【例5】函数的奇偶性是______（奇函数、偶函数） 【变式5-1】函数的奇偶性为（ ） A．奇函数 B．既是奇函数也是偶函数 C．偶函数 D．非奇非偶函数 【变式5-2】函数的奇偶性为______________． 【变式5-3】判断函数f