7.3.1 正弦函数的性质与图像-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第三册同步全程学习全书word（人教B版2019）

7.3　三角函数的性质与图像 7.3.1　正弦函数的性质与图像 学习目标 1.借助单位圆了解周期函数与最小正周期的意义. 2.了解正弦函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值. 3.能利用性质解决一些简单的问题. 4.能用五点法画出正弦函数的图像. 1.周期函数 (1)周期函数的概念. 一般地,对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得对定义域内的每一个x,都满足f(x+T)=f(x),那么就称函数f(x)为周期函数,非零常数T称为这个函数的周期. (2)最小正周期. 对于一个周期函数f(x),如果在它的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小的正数就称为f(x)的最小正周期. 思考1:所有的函数都具有周期性吗? 答案:不是.只有同时符合周期函数定义中的两个条件的函数才具有周期性. 思考2:周期函数都有最小正周期吗? 答案:周期函数不一定存在最小正周期.例如,对于常数函数f(x)=c(c为常数,x∈R),所有非零实数T都是它的周期,而最小正周期是不存在的,所以常数函数没有最小正周期. 2.正弦函数的性质 函数 y=sin x 定义域 R 值域 [-1,1] 最值 当x=+2kπ(k∈Z)时,ymax=1; 当x=+2kπ(k∈Z)时,ymin=-1 奇偶性 奇函数 周期性 最小正周期为2π 单调性 在[-+2kπ,+2kπ](k∈Z) 上递增,在 [+2kπ,+2kπ](k∈Z)上递减 零点 x=kπ(k∈Z) 3.正弦函数的图像 函数 y=sin x 图像 图像画法 五点法 关键五点 (0,0),(,1),(π,0) ,(,-1), (2π,0) 对称轴 x=+kπ(k∈Z) 对称中心 (kπ,0)(k∈Z) 4.正弦曲线 一般地,y=sin x的函数图像称为正弦曲线. (1)对周期函数的两点说明: ①并不是每一个函数都是周期函数,若函数具有周期性,则其周期也不一定唯一. ②如果T是函数f(x)的一个周期,则nT(n∈Z,且 n≠0)也是f(x)的周期. (2)正弦函数的性质: ①正弦函数有单调区间,但不是定义域上的单调函数,即正弦函数在整个定义域内不单调. ②由单位圆可以看出,当角的终边在x轴上时,角的正弦值为0,所以正弦函数的零点为kπ(k∈Z). (3)五点法作图中的“五点”是指函数的最高点、最低点,以及图像与坐标轴的交点.这是作正弦函数图像最常用的方法. 　正弦函数的定义域及值域(最值) [例1] (1)(多选题)已知函数f(x)=2asin x+a+b的定义域是[0,],值域为[-5,-1],则a,b的值为(　　) A.a=2,b=-7 B.a=-2,b=2 C.a=-2,b=1 D.a=1,b=-2 (2)函数y=cos2x+2sin x-2,x∈R的值域为　　　　　.  解析:(1)因为f(x)=2asin x+a+b的定义域是[0,],所以0≤sin x≤1.当a<0时,由题意得 所以 当a>0时,由题意得解得 故选AC. (2)y=cos2x+2sin x-2=-sin2x+2sin x-1 =-(sin x-1)2. 因为-1≤sin x≤1,所以-4≤y≤0, 所以函数y=cos2x+2sin x-2,x∈R的值域为[-4,0]. 答案:(1)AC　(2)[-4,0] 常见的三角函数求值域或最值的类型: (1)形如y=asin2x+bsin x+c(a≠0)的三角函数,可先令sin x=t,将函数y=asin2x+bsin x+c(a≠0)化为关于t的二次函数y=at2+bt+c(a≠0),根据二次函数的单调性求值域(最值). (2)对于形如y=asin x(或y=acos x)的函数的最值还要注意对a的讨论. [针对训练] (1)函数y=log2(sin x)的定义域为　　　　　　　　.  (2)求函数y=1-2sin2x+sin x的值域. (1)解析:据题意知sin x>0, 得x∈(2kπ,2kπ+π)(k∈Z). 答案:(2kπ,2kπ+π)(k∈Z) (2)解:y=1-2sin2x+sin x, 令sin x=t,则-1≤t≤1, y=-2t2+t+1=-2(t-)2+. 由二次函数y=-2t2+t+1(t∈[-1,1])的图像(图略)可知-2≤y≤, 即函数y=1-2sin2x+sin x的值域为[-2,]. [备用例1] (1)求函数f(x)=lg(sin x)+的定义域; (2)设|x|≤,求函数f(x)=cos2x+sin x的最小值. 解:(1)由题意得,要使函数有意义, 则x满足不等式组 即 所以-4≤x<-π或0<x<π, 即函数f(x)的定义域为[-4,-π)∪(0,π). (2)f(x)=cos2x+s