6.2.2空间向量的坐标表示（2） 校本讲义-2022-2023学年高二下学期数学苏教版（2019）选择性必修第二册

江苏省泰兴市第三高级中学虹桥校区校本化讲义 编号006 §6．2.2　空间向量坐标表示（2） 目标要求 1、理解并掌握空间向量的数量积的坐标表示． 2、理解并掌握空间向量的数量积的简单应用． 学科素养目标 本章是在数学必修第二册“平面向量”的基础上展开的，内容包括空间向量的基本概念和运算，以及用空间向量解决直线、平面位置关系的问题等内容．通过本章的学习，要使学生体会向量方法在研究几何图形中的作用，并进一步培养学生的空间想象力． 本章充分利用空间向量与平面向量之间的内在联系，通过类比，引导学生将平面向量中的概念、运算以及处理问题的方法推广到空间，既使相关内容相互沟通，又使学生学习类比、归纳、推广、化归等思想方法，促使他们体会数学探索活动的基本规律，提高他们对向量的整体认识水平．空间向量的概念、运算、正交分解、坐标表示以及用空间向量表示空间中的几何元素等，都是通过与平面向量的类比完成的．学生可以从中体验数学在结构上的和谐性，同时也感悟到推广过程中因维数增加所带来的影响．在内容叙述过程中，通过“旁白”、“思考”、“实验”、“链接”和习题中的“思考·运用”、“探究·拓展”等为学生提供了较大的思维空间． 重点难点 重点：空间向量的数量积的坐标表示； 难点：空间向量的数量积中的夹角问题． 教学过程 基础知识点 1．空间向量的运算与坐标的关系 若a＝，b＝ 数量积 运算 a·b＝______________ 模长公式 ＝＝__________________ 夹角 公式 cos 〈a，b〉＝ ＝ 垂直 a⊥b⇔a·b＝0⇔_______________ 2.中点坐标公式 已知A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则线段AB的中点M的坐标为____________________． 【课前小题演练】 题1．已知，1，，，1，，，0，，，，则　　 A． B．1 C．0 D． 题2. 已知点，2，，，0，，则点关于轴对称的点与点的距离为　　 A． B． C． D． 题3. 已知三点，1，，，1，和，0，，是坐标原点，则　　 A．2 B．4 C． D．12 题4. 已知空间三点，2，，，1，，，，，向量，且向量分别与，垂直，则　　 A．4 B． C．2 D． 题5．已知a＝(－2，－4，0)，b＝(－1，3，0)，则〈a，b〉＝________. 题6．已知，，，，，，且与的夹角为钝角，则的取值范围是___________． 题7. 如图，在棱长为2的正方体中，是棱的中点，为棱上的一点，且，则线段的长为________． 题8. 已知空间三点，0，，，1，，，0，，设，． （1）求与的夹角的余弦值； （2）若向量与互相垂直，求实数的值； （3）若向量与共线，求实数的值． 【当堂巩固训练】 题9. 已知，，，，，，若，则等于　　 A．10 B． C．2 D． 题10. 设，，向量，1，，，，，，，，且，，则 A． B． C．3 D．4 题11. 在空间直角坐标系中，已知，，，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为　　 A． B． C． D． 题12．在如图所示的空间直角坐标系中，正方体棱长为2，为正方体的棱的中点，为棱上的一点，且，则点的坐标为　　 A．，， B．，， C．，， D．，， 题13. (多选题)已知点P是△ABC所在的平面外一点，若＝(－2，1，4)，＝(1，－2，1)，＝(4，2，0)，则(　　) A．AP⊥AB B．AP⊥ BP C．BC＝ D．AP∥ BC 题14. 设、，向量，，，且，，则的值为_______． 题15. 已知，，则向量与的夹角是___________. 题16. 《九章算术》第五卷中涉及到一种几何体羡除，它下广六尺，上广一丈．深三尺，末广八尺，袤七尺．该羡除是一个多面体，如图，四边形，均为等腰梯形，，平面平面，梯形，梯形的高分别为3，7，且，，，则__________． 题17．已知△ABC的三个顶点为A(3，3，2)，B(4，－3，7)，C(0，5，1)，则BC边上的中线长为________；cos ∠BAC＝________． 题18. 已知空间三点，2，，，1，，，，． （1）若，且分别与，垂直，求向量的坐标； （2）若，且，求点的坐标． 题19. 如图，在直三棱柱中，，． （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）设，求长． 题20. 如图，在四棱锥中，为等边三角形，边长为2，为等腰直角三角形，，，，平面平面． （1）证明：平面； （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值； （3）棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【综合突破拔高】 题21. 已知向量，若与的夹角为钝角，则的取值范围是　　 A． B． C． D