冲刺2023年中考数学微专题靶向培优（中考与几何探究类问题）能力提升专练

冲刺2022-2023年中考数学微专题靶向培优 （中考与几何探究类问题）能力提升专练 1. 已知，在△ACB和△DCE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝BC，DC＝EC，M为 DE的中点，联结BE． （1）如图1，当点A、D、E在同一直线上，联结CM，求证：CM＝； （2）如图2，当点D在边AB上时，联结BM，求证：BM2＝（）2+（）2． 2. 如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC 上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点． （1）观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是　 　，位置关系是　 　； （2）探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由； （3）拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出△PMN面积的最大值． 3.如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，E是边AC上任意一点（点E与点A，C不重合），以CE为一直角边作Rt△ECD，∠ECD=90°，且CE=CD，连接BE，AD.（1）猜想线段BE，AD之间的数量关系及所在直线的位置关系，直接写出结论； （2）现将图①中的Rt△ECD绕着点C顺时针旋转锐角α，得到图②，请判断（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由. 4.在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为2的正方形ABCD 与边长为2的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一直线上，AB与 AG在同一直线上． （1）小明发现DG⊥BE，请你帮他说明理由； （2）如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你帮他求出此时BE的长． 5.如图①，已知△ABC是等腰三角形，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，作正 方形DEFG，使点A、C分别在DG和DE上，连接AE、BG． （1）试猜想线段BG和AE的关系为； （2）如图②，将正方形DEFG绕点D按逆时针方向旋转α（0°＜α≤90°），判断（1）中的结论是否仍然成立，证明你的结论． 6.已知在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，对角线AC、BD相交于点O，点E是线段 BD上一动点（不与点B，D重合），连接AE，以AE为边在AE的右侧作菱形 AEFG，且∠AEF＝60°． （1）如图1，若点F落在线段BD上，请判断：线段EF与线段DF的数量关系是　 　 （2）如图2，若点F不在线段BD上，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请给出判断并予以证明； （3）若点C，E，G三点在同一直线上，其它条件不变，请直接写出线段BE与线段BD的数量关系． 7.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AC=8 cm，AD⊥BC于点D，点P从点A出发，沿A→C方向以cm/s的速度运动到点C停止，在运动过程中，过点P作PQ∥AB交BC于点Q，以线段PQ为边作等腰直角三角形PQM，且∠PQM=90°（点M，C位于PQ异侧）．设点P的运动时间为x（s），△PQM与△ADC重叠部分的面积为y（cm2）. （1）当点M落在AB上时，x= ； （2）当点M落在AD上时，求出x的值； （3）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． 8.已知：在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，对角线AC，BD相交于点O，点E是线 段BD上一动点（不与点B，D重合），连接AE，以AE为边在AE的右侧作等边 △AEF． （1）如图①，若点F落在线段BD上，线段AE、FD的数量关系是　 　； （2）如图②，若点F不在线段BD上，点E是线段BD上，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明：若不成立，请说明理由； （3）若点E在线段BD的延长线上，连接BF，若AB＝2，BF＝2，直接写出△ADE或四边形ADFE的面积．（写出一个面积即可） 9.问题情境 如图1，已知矩形ABCD中，点E，F是AD，BC的中点，连接EF，将矩形ABCD沿FF剪开，得到四边形ABFE和四边形EPCD． （1）求证：四边形EPCD是矩形； 操作探究 保持矩形EPCD位置不变，将矩形ABFE从图1的位置开始，绕点E按逆时针方向旋转．设旋转角为α（O°＜α＜360°）操作中，提出了如下问题，请你解答． （2）如图2，当矩形ABFE旋转到点A落在线段EP上时，线段EF恰好经过点D，设DC与AB相交于点G．判断四边形EAGD的形状，并说明理由． （3）在矩形ABFE旋转过程中连接线段AP和BP，当AP＝BP时，求旋转角α的度数． 10.问题：如图（1），点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝ 45°，试判断BE、EF、FD之