1 微专题3 利用勾股定理巧解折叠问题&微专题4 勾股定理及其逆定理的综合应用(高效课堂)-【探究在线】2022-2023学年八年级下册数学高效课堂导学案（湘教版）

探究在线高谣堂导·半·裘 第1章直角三角形 微专题3利用勾股定理巧解折叠问题 类型三巧用方程思想解折叠中线段的位置及比 专题解读 例问题 折叠图形的主要特征是折叠前后的两个图形 3.如图，正方形ABCD中，点E在边CD上，将 绕着折痕翻折能够完全重合，解答折叠问题就是巧 △ADE沿AE对折至△AFE,延长EF交边BC 用轴对称及全等的性质解答折叠中的变化规律；利 于点G,G为BC的中点，连接AG,CF 用勾股定理解答折叠问题的一般步骤：(1)运用折 (1)求证：AG∥CF; 叠图形的性质找出相等的线段或角.(2)在图形中 找到一个直角三角形，然后设图形中某一线段的长 2)求5的值。 川D 为x,将此直角三角形的三边长用数或含有x的代 数式表示出来.(3)利用勾股定理列方程求出x. (4)进行相关计算解决问题. 一专题训练一 类型一巧用全等法求折叠中线段的长 1.如图①是一直角三角形纸片，∠A=30°，BC= 4cm,将其折叠，使点C落在斜边上的点C'处， 折痕为BD,如图②，再将图②沿DE折叠，使点 A落在DC'的延长线上的点A'处，如图③，则折 痕DE的长为 ) 类型四巧用折叠探究线段之间的数量关系 4.如图，将长方形ABCD沿直线EF折叠，使点C ① ② ③ c 与点A重合，折痕交AD于点E,交BC于点F, B.2、3cm 连接AF,CE. C.2√2cm D.3 cm (1)求证：AE=AF=EC=CF; 类型二巧用对称法求折叠中图形的面积 (2)设AE=a,ED=b,DC=c,请写出一个a,b, 2.如图所示，将长方形ABCD沿直线BD折叠，使 c三者之间的数量表达式. 点C落在点C'处，BC交AD于点E,AD=8, 0 AB=4,求△BED的面积. 17 八年级数学（下）·XJ 微专题4勾股定理及其逆定理的综合应用 类型四巧用勾股定理求最短距离 一一专题解读一一一 4.如图，A,B两个小镇在河流CD的同侧，分别到 勾股定理及其逆定理揭示了直角三角形的三 河边的距离为AC=10千米，BD=30千米，且 边的数量关系，在实际生活中应用广泛，在解题时 CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向 注意将实际问题转化为直角三角形问题，利用勾股 A,B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万 定理解决， 元，请你在河边CD上选择水厂的位置E,使铺 设水管的费用最节省，并求出总费用. 专题训练 类型一勾股定理与格点多边形 1.如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都 是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点 ::02: 分别按下列要求画三角形（涂上阴影）. (1)在图①中，画一个三角形，使它的三边长都 是有理数； (2)在图②，图③中，分别画一个直角三角形，使它 的三边长都是无理数.（两个三角形不全等） L 图① 图② ③ 类型二勾股定理与图形变换 类型五运用勾股定理探究图形规律 2.如图所示，在△ABC中，AB=20,AC=12,BC 5.细心观察下图，认真分析各式，然后解答问题： =16,把△ABC折叠，使AB落在直线AC上， 求重叠部分（阴影部分）的面积. )+1=2.S-号(v2)+1=3.s,=g 2 3)2+1=4,S,= 2… (1)用含有(n为正整数)的等式表示上述变化规律； (2)推算出OA0的长； (3)求出S+S号+S号+…+S的值. As14:1 A A S2A2 类型三利用勾股定理的逆定理证垂直 01A, 3.如图，在△ABC中，AB=5,AC=13,BC边上的 中线AD=6,求证：BA|AD. 18☐∠AEF=∠ 11.131∘同理。∠E=÷(180^∘-∠ECD)．4.8\sqrt{3}【解析】∵DC⊥BC，～_∴ ZAEi π_FE∴∠AFE=∠AEF， 12.2【解析】由作法得BD平分∠ABC，∵∠C=90^，∠AE+∠F=180°-÷(∠ABF+∠ECD)。（2)由题意知，AE=EC=a，ED=b，DC=c， =30^°∴∠ABC=60^，∴∠ABD=∠CBD=30^∘=∠A，∠E+∠F=180°-÷(∠ABF+∠ECD)。 ∴DA=DB，在Rt△BCD中，BD=2CD∴AD=2CD，AB//CD(已知)，∴∠ABF+∠ECD=180^°． 到点H。使DH=CD，∵D为ABD在Rt△DEC中，∠D=90^°知，ED+DC=CE^，即b+c^2 的中点，∴AD=BD，易证 入ADH≌入BDCSAS)…AH=BC=4.∠H=∠BCD=90，微专题4勾股定理及其逆定理的综合应用 ∴。△ⅨD=÷．∴∠E+∠F=180°-÷×180°=90^°， ∵∠ACH=30°，∴CH=\sqrt{3}AH=4\sqrt{3}∴CD=2\sqrt{3}，1(1)(2)如图所示 ∴△EOF是直角三角形． 13.如图，