专题14 空间中的平行与垂直关系(几何法、向量法)-2023年新高考数学二轮热点突破与提分训练（新高考专用）

专题14 空间中的平行与垂直关系(几何法、向量法） 考点定位 1.以选择题、填空题的形式考查线线、线面、面面位置关系的判定与性质定理，对命题的真假进行判断，属基础题 2.空间中的平行、垂直关系的证明也是高考必考内容，多出现在立体几何解答题中的第(1)问 热点突破 热点（一）空间线、面位置关系的判定 1（单选）给出下列命题： ①经过三点确定一个平面； ②梯形可以确定一个平面； ③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面； ④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合． 其中正确命题的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 【解析】经过不共线的三点可以确定一个平面，①错误；两条平行线可以确定一个平面，②正确；两两相交的三条直线可以确定一个或三个平面，③正确；命题④中没有说明三个交点是否共线，这两个平面可能相交或重合，④错误．故选C. 2（多选）如图所示，在三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，E是PC的中点． 下列说法正确的有（ ） A. AE与PB是异面直线 B. AE与PB不是异面直线 C. 直线AE和PB所成角的余弦值为 D. 直线AE和PB所成角的余弦值为 【解析】假设AE与PB共面，设此平面为α.∵A∈α，B∈α，E∈α，∴平面α即为平面ABE，∴P∈平面ABE，显然这与P∉平面ABE矛盾， ∴AE与PB是异面直线．A正确，B错误；取BC的中点F，连接EF，AF，则EF∥PB，∠AEF(或其补角)就是异面直线AE和PB所成的角． ∵∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，PA⊥平面ABC，∴AF＝，AE＝，EF＝，cos∠AEF＝＝＝，即异面直线AE和PB所成角的余弦值为.故选AC。 3（填空）在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线有________条． 【解析】如图示，在EF上任取一点M，直线A1D1与M确定一个平面，这个平面与CD有且仅有1个交点N，当M取不同的位置时就确定不同的平面，从而与CD有不同的交点N，而直线MN与这3条直线都有交点．故填无数． 4（解答）如图，空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2. (1)求证：E，F，G，H四点共面； (2)设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线． 【解析】(1)∵E，F分别为AB，AD的中点，∴EF∥BD.在△BCD中，∵＝＝，∴GH∥BD，∴EF∥GH.∴E，F，G，H四点共面． (2)∵EG∩FH＝P，P∈EG，EG⊂平面ABC，∴P∈平面ABC.同理P∈平面ADC. ∴P为平面ABC与平面ADC的公共点．又平面ABC∩平面ADC＝AC， ∴P∈AC，即P，A，C三点共线． 【归纳反思】 判断空间线、面位置关系的常用方法 (1)根据空间线面平行、垂直的判定定理和性质定理逐项判断，解决问题. (2)利用直线的方向向量、平面的法向量判断. (3)必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察线、面的位置关系，并结合有关定理进行判断.　 热点（二）几何法证明平行、垂直 1（单选）设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β(　　) A．若l⊥β，则α⊥β B．若α⊥β，则l⊥m C．若l∥β，则α∥β D．若α∥β，则l∥m 【解析】对于A，由两平面垂直的判定定理知，A正确；对于B，直线l，m相交、平行、异面都有可能，B错误；对于C，要求α内两条相交直线都平行于β，才能推出α∥β，C错误；对于D，l，m平行、异面都有可能，D错误．故选A. 2（多选）如图所示，斜三棱柱ABC­A1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1的中点．下列说法正确的有（ ） A. AD1∥平面BDC1 B. AD1平面BDC1 C. BD∥平面AB1D1 D. BD平面AB1D1 【解析】∵D1，D分别为A1C1，AC的中点， 四边形ACC1A1为平行四边形，∴C1D1綊DA，∴四边形ADC1D1为平行四边形，∴AD1∥C1D.又AD1⊄平面BDC1，C1D⊂平面BDC1，∴AD1∥平面BDC1.A正确，B错误；连接D1D，∵BB1∥平面ACC1A1，BB1⊂平面BB1D1D，平面ACC1A1∩平面BB1D1D＝D1D，∴BB1∥D1D.又D1，D分别为A1C1，AC的中点，∴BB1＝DD1，故四边形BDD1B1为平行四边形，∴BD∥B1D1.又BD⊄平面AB1D1，B1D1⊂平面AB1D1，∴BD∥平面AB1D1.C，、正确，D错误。故选AC。 3（填空）如图，二面角α