专题12 数列中的不等式证明及放缩问题-2023年新高考数学二轮热点突破与提分训练（新高考专用）

专题12 数列中的不等式证明及放缩问题 考点定位 数列中的不等式证明问题的常用放缩技巧 (1)对的放缩，根据不同的要求，大致有三种情况(下列n∈N*)： ＜＝－(n≥2)； ＜＝(n≥2)； ＝<＝2(n≥1). (2)对的放缩，根据不同的要求，大致有两种情况(下列n∈N*)： ＞＝－(n≥1)； ＜＝－(n≥1). 热点突破 热点（一）关于数列项的不等式证明 1（单选）设等差数列{an}的前n项和是Sn，若－am<a1<－am＋1(m∈N*，且m≥2)，则必定有(　　) A．Sm>0，且Sm＋1<0 B．Sm<0，且Sm＋1>0 C．Sm>0，且Sm＋1>0 D．Sm<0，且Sm＋1<0 【解析】－am<a1<－am＋1⇔ 得Sm＝·m＞0，Sm＋1＝·(m＋1)＜0. 故选A. 2（多选）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，则下列不一定成立的是(　　) A．若a3>0，则a2015<0 B．若a4>0，则a2014<0 C．若a3>0，则S2015>0 D．若a4>0，则S2014>0 【解析】可列举等比数列an＝(－1)n，此时a4＝1>0，a2014＝1>0，S2014＝0，排除选项B，D；若a3＝a1q2>0，则a1>0，a2015＝a1q2014＝a1q2·q2012>0，排除选项A，当q＝1时，S2015＝2015a1>0；当q≠1时， S2015＝>0，C正确．故选ABD. 3（填空）数列{an}的通项公式为an＝5×3n－2，是否存在正整数m，使得＋＋…＋≥1。 （填是或否） 【解析】an＝5×3n－2，则＝×＝·，故是首项为，公比为的等比数列． 从而＋＋…＋＝＝[1－]＜＜1. 若an＝5×(－1)n，则＝×(－1)n＝－×(－1)n－1，故是首项为－，公比为－1的等比数列． 当m为偶数，即m＝2k(k∈N*)时，＋＋…＋＝0＜1. 当m为奇数，即m＝2k－1(k∈N*)时，＋＋…＋＝－＜1. 综上可知，对任何正整数m，总有＋＋…＋＜1. 故不存在正整数m，使得＋＋…＋≥1成立。 4（解答）已知数列{an}满足an＝an－1－n·(n≥2，n∈N*)，a1＝. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设数列{cn}满足c1＝，cn＋1＝·c＋cn，其中k为一个给定的正整数，求证：当n≤k时，恒有cn<1. 【解析】(1)由已知可得：＝－(n≥2)，即－＝－， 由累加法可求得 ＝＋＋…＋＋＝－－－…－＋＝，即an＝n(n≥2)，又n＝1时也成立，故an＝n(n∈N*). (2)证明　由题意知cn＋1＝c＋cn，∴{cn}为递增数列，∴只需证ck<1即可. 当k＝1时，c1＝<1成立， 当k≥2时，cn＋1＝c＋cn<cncn＋1＋cn，即－>－， 因此＝＋…＋＋>－＋2＝， ∴ck<<1，∴当n≤k时，恒有cn<1. 【归纳反思】 (1)结合“累加”“累乘”“迭代”放缩；(2)利用二项式定理放缩；(3)利用基本不等式或不等式的性质；(4)转化为求最值、值域问题.　 热点（二）对求和结论进行放缩 1（单选）记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝1，是公差为的等差数列。下列说法正确的是（ ） A. {an}的通项公式为an＝ (n∈N*) B. {an}的通项公式为an＝ (n∈N*) C. ＋＋…＋<2 D. ＋＋…＋<1 【解析】(1)　方法一　因为a1＝1，所以＝1，又是公差为的等差数列，所以＝1＋(n－1)×＝.因为当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，所以＝(n≥2)，所以＝(n≥2)，整理得＝(n≥2)，所以··…··＝××…··＝(n≥2)，所以Sn＝(n≥2)，又S1＝1也满足上式，所以Sn＝(n∈N*)，则Sn－1＝(n≥2)，所以an＝－＝(n≥2)，又a1＝1也满足上式，所以an＝(n∈N*)． 方法二　因为a1＝1，所以＝1，又是公差为的等差数列， 所以＝1＋(n－1)×＝，所以Sn＝an. 因为当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，所以an－1＝an(n≥2)， 所以＝(n≥2)，所以··…··＝×××…··＝(n≥2)， 所以an＝(n≥2)，又a1＝1也满足上式，所以an＝(n∈N*)．因为an＝，所以＝＝2，所以＋＋…＋＝2＝2<2.故选C。 2（多选）若数列{an}的前n项和为Sn，点(an，Sn)在y＝－x的图象上(n∈N*)。下列说法正确的有（ ） A. 数列{an}的通项公式为an＝n－1＝2n B. 数列{an}的通项公式为an＝n－1＝2n＋1 C. 若c1＝0，且对任意正整数n都有cn＋1－cn＝.对任意正整数n≥2，总有≤＋＋＋…＋＜ D. 若c1＝0，且对任意正整数n都有cn＋1－cn＝.对任意正整数n≥2，总有＋