专题11 数列中的最值、范围及奇偶项问题-2023年新高考数学二轮热点突破与提分训练（新高考专用）

专题11 数列中的最值、范围及奇偶项问题 考点定位 1.数列中的最值、范围问题的常见类型有：(1)求数列和式的最值、范围；(2)满足数列的特定条件的n的最值与范围；(3)求数列不等式中参数的取值范围 2.数列中的奇、偶项问题的常见题型 (1)数列中连续两项和或积的问题(an＋an＋1＝f(n)或an·an＋1＝f(n))； (2)含有(－1)n的类型； (3)含有{a2n}，{a2n－1}的类型； (4)已知条件明确奇偶项问题. 热点突破 热点（一）求数列和式的最值、范围 1（单选）设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＞0，a3＋a10＞0，a6a7＜0，则满足Sn＞0的最大自然数n的值为(　　) A．6 B．7 C．12 D．13 【解析】∵a1＞0，a6a7＜0，∴a6＞0，a7＜0，等差数列的公差小于零，又a3＋a10＝a1＋a12＞0，a1＋a13＝2a7＜0，又∵Sn＝，∴S12＞0，S13＜0，∴满足Sn＞0的最大自然数n的值为12.故选C. 2（多选）等差数列{an}的首项a1＞0，设其前n项和为Sn，且S5＝S12， Sn有最大值时， n可以为何值（ ） A. 7 B. 8 C.9 D.10 【解析】解法一：由题意知d＜0，∵Sn＝n2＋n， 设f(x)＝x2＋x，如图， 由S5＝S12知，抛物线的对称轴为x＝＝， 由图可知，当1≤n≤8时，Sn单调递增；当n≥9时，Sn单调递减，且S8＝S9. 又n∈N*，∴当n＝8或9时，Sn有最大值． 解法二：设等差数列{an}的公差为d，由S5＝S12得5a1＋10d＝12a1＋66d，d＝－a1＜0.Sn＝na1＋d＝na1＋· ＝－a1(n2－17n)＝－a1＋a1， ∵a1＞0，n∈N*，∴当n＝8或9时，Sn有最大值． 解法三：由解法二得d＝－a1＜0. 设此数列的前n项和最大，则 即 解得 即8≤n≤9，又n∈N*，∴当n＝8或9时，Sn有最大值． 解法四：由解法二得d＝－a1＜0，又S5＝S12得a6＋a7＋a8＋a9＋a10＋a11＋a12＝0，∴7a9＝0，∴a9＝0.∴当n＝8或9时，Sn有最大值．故选BC。 3（填空）如图所示是毕达哥拉斯(Pythagoras)的生长程序：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形边上再连接正方形，…，如此继续，若共得到1 023个正方形，设初始正方形的边长为，则最小正方形的边长为________． 【解析】设1＋2＋4＋…＋2n－1＝1 023，即＝1 023，2n＝1 024，n＝10.正方形边长构成数列，，，…，其中第10项为＝，即所求最小正方形的边长为.故填. 4（解答）已知等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，且a1＋a6＝a4，S6＝9，数列{bn}满足b1＝2，bn－bn－1＝2n－1(n≥2，n∈N*). (1)求数列{an}和{bn}的通项公式； (2)求数列{anbn}的前n项和Tn，并求Tn的最小值. 【解析】(1)由S6＝3(a1＋a6)＝3(a3＋a4)＝3a4＝9， 得a4＝3，a3＝0，故数列{an}的公差d＝3，an＝a3＋(n－3)d＝3n－9， 即数列{an}的通项公式为an＝3n－9(n∈N*). 当n≥2时，bn＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b2－b1)＋b1＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋2＝2n，而b1＝2，故bn＝2n，即数列{bn}的通项公式为bn＝2n(n∈N*). (2)Tn＝－6×2－3×22＋…＋(3n－12)×2n－1＋(3n－9)×2n， 2Tn＝－6×22－3×23＋…＋(3n－12)×2n＋(3n－9)×2n＋1. 上述两式相减得 －Tn＝－12＋3×22＋…＋3×2n－(3n－9)×2n＋1 ＝－12＋3×－(3n－9)×2n＋1 ＝－24－(3n－12)×2n＋1， 故Tn＝(3n－12)×2n＋1＋24(n∈N*). 设cn＝(3n－12)×2n＋1， 显然当n≥4时，cn≥0，Tn≥24且单调递增. 而c1＝－36，c2＝－48，c3＝－48， 故Tn的最小值为T2＝T3＝－24. 【归纳反思】 基本方法是： (1)利用不等式组(n≥2)确定和式的最大值； 利用不等式组(n≥2)确定和式的最小值. (2)利用和式的单调性； (3)把数列的和式看作函数求其最值、值域.　 热点（二）求n的最值或范围 1（单选）若数列{an}是正项递减等比数列，Tn表示其前n项的积，且T8＝T12，则当Tn取最大值时，n的值等于(　　) A．9 B．10 C．11 D．12 【解析】∵T8＝T12，∴a9a10a11a12＝1，又a9a12＝a10a11＝1，且数列{an}是正项递减数列，