专题09 数列求和的常用方法-2023年新高考数学二轮热点突破与提分训练（新高考专用）

专题09 数列求和的常用方法 考点定位 近几年高考，数列求和常出现在解答题第(2)问，主要考查通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求数列的和，难度中档. 热点突破 热点（一）分组求和与并项求和 1（单选）设数列1，(1＋2)，…，(1＋2＋22＋…＋2n－1)，…的前n项和为Sn，则Sn等于(　　) A．2n B．2n－n C．2n＋1－n D．2n＋1－n－2 【解析】解法一：特殊值法，易知S1＝1，S2＝4，只有选项D适合． 解法二：研究通项an＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1，∴Sn＝(21－1)＋(22－1)＋…＋(2n－1)＝(21＋22＋…＋2n)－n＝2n＋1－n－2.故选D. 2（多选）已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a1＝1，＝，记bn＝(－1)na，cn＝[lg an]，其中[x]是高斯函数，表示不超过x的最大整数，如[lg 0.9]＝0，[lg 99]＝1，则下列说法正确的是(　　) A．an＝n B.＋＋…＋＝ C．b1＋b2＋…＋b100＝5 050 D．c1＋c2＋c3＋…＋c1 000＝1 893 【解析】由Sn为等差数列{an}的前n项和，可得＝＝＝， 即＝.又a1＝1，设等差数列{an}的公差为d，所以＝＝， 解得d＝1，所以an＝n，故A正确； 由选项A可知Sn＝， 所以＝＝2， 所以＋＋…＋＝2 ＝2＝，故B错误； 由选项A可知bn＝(－1)nn2，所以b2n＝4n2，b2n－1＝－(2n－1)2， 所以b2n＋b2n－1＝4n2－(2n－1)2＝4n－1，即数列{b2n＋b2n－1}是首项为3，公差为4的等差数列，所以b1＋b2＋…＋b100＝(b1＋b2)＋(b3＋b4)＋…＋(b99＋b100) ＝×50＝5 050，故C正确； 由选项A可知cn＝[lg an]＝[lg n]， 当n∈[1,9]且n∈N*时，cn＝0； 当n∈[10,99]且n∈N*时，cn＝1； 当n∈[100,999]且n∈N*时，cn＝2； 当n＝1 000时，cn＝3， 所以c1＋c2＋c3＋…＋c1 000＝9×0＋90×1＋900×2＋3＝1 893，故D正确．故选ACD。 3（填空）已知函数f(n)＝ 且an＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100等于 【解析】a1＋a2＋a3＋…＋a100＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012＝2[(1012－1002)＋(992－982)＋(972－962)＋…＋(32－22)]＋1－1012 ＝2(201＋197＋193＋…＋5)＋1－1012＝2·＋1－1012＝10 301－1012＝100. 4（解答）已知数列{an}的前n项和Sn＝，n∈N*. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝2an＋(－1)nan，求数列{bn}的前2n项和． 【解析】(1)当n＝1时，a1＝S1＝1； 当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝－＝n. 故数列{an}的通项公式为an＝n. (2)由(1)知，bn＝2n＋(－1)nn.记数列{bn}的前2n项和为T2n，则 T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n)． 记A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n， 则A＝＝22n＋1－2， B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n. 故数列{bn}的前2n项和T2n＝A＋B＝22n＋1＋n－2. 【归纳反思】 1.若数列{cn}的通项公式为cn＝an±bn，或cn＝且{an}，{bn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和. 2.若数列的通项公式中有(－1)n等特征，根据正负号分组求和.　 3. 分组求和的基本思路是把各项中结构相同的部分归为同一组，然后再求和. 热点（二）裂项相消法求和 1（单选）已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3＝0，S5＝－5，则数列的前8项和为(　　) A．－ B．－ C. D. 【解析】设数列{an}的公差为d，则Sn＝na1＋d.由已知可得 解得∴{an}的通项公式为an＝2－n.∴＝＝，∴数列的前8项和为(－＋－＋…＋－)＝－.故选B. 2（多选）龙曲线是由一条单位线段开始，按下面的规则画成的图形：将前一代的每一条折线段都作为这一代的等腰直角三角形的斜边，依次画出所有直角三角形的两段，使得所画的相邻两线段永远垂直(即所画的直角三角形在前一代曲线的左右两边交替出现)．例如第一代龙曲线(图1)是以A1A2为斜边画出等腰直角三角形的直角边A1A3，A3A2所得的折线图，图2、图3依次为第二代、第三代龙曲线(虚线即为前一代龙曲线)．A1，A2