专题08 等差数列与等比数列-2023年新高考数学二轮热点突破与提分训练（新高考专用）

专题08 等差数列与等比数列 考点定位 1.等差、等比数列的基本运算和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现 2.数列的通项也是高考热点，难度中档以下 热点突破 热点（一）等差数列、等比数列的基本公式 1（单选）已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝(　　) A．21 B．42 C．63 D．84 【解析】设等比数列{an}的公比为q，则a1＋a3＋a5＝a1＋a1q2＋a1q4＝3(1＋q2＋q4)＝21，得q4＋q2－6＝0，解得q2＝2，∴a3＋a5＋a7＝(a1＋a3＋a5)q2＝21q2＝42.故选B. 2（多选）已知等比数列{an}的公比为q，且a5＝1，则下列选项正确的是(　　) A.a3＋a7≥2 B.a4＋a6≥2 C.a7－2a6＋1≥0 D.a3－2a4－1≥0 【解析】因为等比数列{an}的公比为q，且a5＝1，所以a3＝，a4＝，a6＝q，a7＝q2，因为a3＋a7＝＋q2≥2，当且仅当q2＝1时等号成立，故A正确；因为a4＋a6＝＋q，当q<0时式子为负数，故B错误；因为a7－2a6＋1＝q2－2q＋1＝(q－1)2≥0，故C正确；因为a3－2a4－1＝－－1＝－2，则a3－2a4－1≥0不成立，故D错误.故选AC。 3（填空）已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和．若a1＝6，a3＋a5＝0，则S6＝________. 【解析】∵a3＋a5＝2a4＝0，∴a4＝0.又a1＝6，∴a4＝a1＋3d＝0，∴d＝－2. ∴S6＝6×6＋×(－2)＝6. 4（解答）在等差数列{an}中， (1)已知a15＝33，a45＝153，求an； (2)已知a6＝10，S5＝5，求Sn； (3)已知前3项和为12，前3项积为48，且d＞0，求a1. 【解析】(1)解法一：设首项为a1，公差为d，依条件得 解得∴an＝－23＋(n－1)×4＝4n－27. 解法二：由d＝，得d＝＝＝4， 由an＝a15＋(n－15)d，得an＝4n－27. (2)∵a6＝10，S5＝5，∴解得a1＝－5，d＝3. ∴Sn＝－5n＋·3＝n2－n. (3)设数列的前三项分别为a2－d，a2，a2＋d，依题意有： 即 解得 ∵d＞0，∴d＝2，∴a1＝a2－d＝2. 【归纳反思】 1.等差数列的通项公式：an＝a1＋(n－1)d； 2.等比数列的通项公式：an＝a1·qn－1. 3.等差数列的求和公式： Sn＝＝na1＋d； 4.等比数列的求和公式： Sn＝　 5.等差数列、等比数列的基本量问题的求解策略 (1)抓住基本量：首项a1、公差d或公比q. (2)熟悉一些结构特征，如前n项和为Sn＝an2＋bn(a，b是常数)形式的数列为等差数列，通项公式为an＝p·qn－1(p，q≠0)形式的数列为等比数列. 热点（二）等差数列、等比数列的性质 1（单选）若两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，已知＝，则等于(　　) A．7 B. C. D. 【解析】(1)∵a5＝，b5＝，∴＝＝＝＝＝.故选D. 2（多选）下列说法正确的有（ ） A. 设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S6∶S3＝1∶2，则S9∶S3＝3∶4 B. 设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S6∶S3＝1∶2，则S9∶S3＝4∶3 C. 设数列{an}，{bn}都是正项等比数列，Sn，Tn分别为数列{lgan}与{lgbn}的前n项和，且＝，则logb5a5＝ D. 设数列{an}，{bn}都是正项等比数列，Sn，Tn分别为数列{lgan}与{lgbn}的前n项和，且＝，则logb5a5＝ 【解析】由等比数列的性质：S3，S6－S3，S9－S6仍成等比数列，于是(S6－S3)2＝S3·(S9－S6)，不妨令S3＝2，则S6＝1，代入解得S9＝，S9∶S3＝3∶4.A正确，B错误；由题意知＝＝＝＝logb5a5＝，C正确，D错误。故选AC。 3（填空）已知Sn为等差数列{an}的前n项和，Sn＝m，Sm＝n(n≠m)，则Sm＋n＝________. 【解析】解法一：令Sn＝An2＋Bn，则 得A(n2－m2)＋B(n－m)＝m－n.∵n≠m，∴A(n＋m)＋B＝－1.∴Sm＋n＝A(m＋n)2＋B(m＋n)＝－(m＋n)． 解法二：不妨设m＞n，Sm－Sn＝an＋1＋an＋2＋an＋3＋…＋am－1＋am ＝＝n－m，∴a1＋am＋n＝an＋1＋am＝－2. ∴Sm＋n＝＝－(m＋n)． 解法三：∵{an}是等差数列，∴为等差数列，D为公差． ∴－＝nD，－＝(n－m)D.∴＝，解得Sm＋n＝－(m＋n)． 故填－(m＋n)． 4（解答）在等比数列{an}中，若a1a2a3a