专题07 等和线、奔驰定理、三角形四心-2023年新高考数学二轮热点突破与提分训练（新高考专用）

专题07 等和线、奔驰定理、三角形四心 考点定位 1.平面向量等和线定理 平面内一组基底，及任一向量，＝λ＋μ(λ，μ∈R)，若点P在直线AB上或在平行于AB的直线上，且k＝＝＝，则λ＋μ＝k(定值)，反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为平面向量基本定理系数的等和线. (1)当等和线恰为直线AB时，k＝1， (2)当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0，1)； (3)当直线AB在O点和等和线之间时，k∈(1，＋∞)； (4)当等和线过O点时，k＝0. 2.三角形“四心” (1)点O是△P1P2P3的重心⇔＋＋＝0⇔S△P2OP3＝S△P1OP3＝S△P1OP2＝S△P1P2P3； (2)点O是△P1P2P3的垂心⇔·＝·＝·⇔tan P1·＋tan P2·＋tan P3·＝0⇔S△P2OP3∶S△P3OP1∶S△P1OP2＝tan P1∶ tan P2∶tan P3(△P1P2P3不是直角三角形)； (3)点O是△P1P2P3的内心⇔a＋b＋＝0⇔S△P2OP3∶S△P3OP1∶S△P1OP2＝a∶b∶c(其中a，b，c是△P1P2P3的三边，分别对应角P1，P2，P3)； (4)点O是△P1P2P3的外心⇔||＝||＝||⇔sin∠P2OP3＋sin∠P1OP3＋sin∠P1OP2＝0⇔S△P2OP3∶S△P3OP1∶S△P1OP2＝sin 2P1∶sin 2P2∶sin 2P3. 3.奔驰定理 如图，已知P为△ABC内一点，则有S△PBC·＋S△PAC·＋S△PAB·＝0. 由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”.这个定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用. 热点突破 热点（一）利用等和线求基底系数和的值 1（单选）如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点.若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ等于(　　) A.1 B. C. D. 【解析】法一(通法)　∵E为线段AO的中点，∴＝(＋)＝＝＋＝λ＋μ，∴λ＝，μ＝，则λ＋μ＝. 法二(等和线法)　如图，AD为值是1的等和线，过E作AD的平行线，设λ＋μ＝k， 则k＝.由图易知，＝，故选B. 2（多选）如图所示，在△ABC中，D，F分别是AB，AC的中点，BF与CD交于点O，设＝a，＝b，向量＝λa＋μb，则关于λ＋μ的值说法错误的有（ ） A. B. C. 1 D. 【解析】如图，BC为值是1的等和线，过O作BC的平行线， 设λ＋μ＝k，则k＝.由题设知O为△ABC重心，＝.故选ACD。 3（填空）设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________. 【解析】法一(通法)　由题意作图如图. ∵在△ABC中，＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋＝λ1＋λ2，∴λ1＝－，λ2＝.故λ1＋λ2＝. 法二(利用等和线)　如图，过点A作＝，连接DF. 设AF与BC的延长线交于点H，易知AF＝FH，∴AF＝AH，因此λ1＋λ2＝. 4（解答）在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM的中点，＝λ＋μ，求λ＋μ的值。 【解析】法一(通法)　设＝t，则＝＝(＋)＝＋＝＋(－)＝＋，∴λ＝－，μ＝，∴λ＋μ＝. 法二(等和线法)　如图，BC为值是1的等和线，过N作BC的平行线，设λ＋μ＝k，则k＝.由图易知，＝，故选A. 【归纳反思】 利用等和线求基底系数和的步骤 (1)确定值为1的等和线； (2)平移该线，作出满足条件的等和线； (3)从长度比或点的位置两个角度，计算满足条件的等和线的值. 热点（二）利用等和线求基底系数和的最值(范围) 1（单选）如图，四边形OABC是边长为1的正方形，点D在OA的延长线上，且OD＝2，点P是△BCD内任意一点(含边界)，设＝λ＋μ，则λ＋μ的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【解析】法一(通法)　分别以边OA，OC所在直线为x，y轴建立如图所示的坐标系，则＝(0，1)，＝(2，0)， 设P(x，y)，＝(x，y)，∴(x，y)＝λ(0，1)＋μ(2，0)＝(2μ，λ)，∴∴λ＋μ＝x＋y，设z＝x＋y，则y＝－x＋z，所以z是直线y＝－x＋z在y轴上的截距，由图可知，当该直线过点B(1，1)时，它在y轴上的截距最大，为； 和直线CD重合时，在y轴上的截距最小，为1，故z∈，即λ＋μ∈. 法二(等和线法)　如图，设λ＋μ＝k，则直线CD为k＝1的等和线，所有与直线CD平行的直线中，过点B的直线离点O最远，此时k的值最大，且此时k＝，易知AD＝DE＝1，故此时k＝，显然k的最小值为1，