专题15 空间角、距离的计算(几何法、向量法)-2023年新高考数学二轮热点突破与提分训练（新高考专用）

专题15 空间角、距离的计算(几何法、向量法) 考点定位 1.以空间几何体为载体考查空间角(以线面角为主)是高考命题的重点，常与空间线面位置关系的证明相结合，热点为空间角的求解，常以解答题的形式进行考查.高考注重利用向量方法解决空间角问题，但也可利用几何法来求解 2.空间距离(特别是点到面的距离)也是高考题中的常见题型，多以解答题的形式出现，难度中等 热点突破 热点（一）异面直线所成的角 1（单选）已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 【解析】画出正四面体ABCD的直观图，如图所示． 设其棱长为2，取AD的中点F，连接EF，设EF的中点为O，连接CO， 则EF∥BD，则∠FEC就是异面直线CE与BD所成的角．△ABC为等边三角形， 则CE⊥AB，易得CE＝，同理可得CF＝，故CE＝CF.因为OE＝OF，所以CO⊥EF.又EO＝EF＝BD＝，所以cos∠FEC＝＝＝. 2（多选）如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，下列结论正确的是(　　) A．A1C1∥平面ABCD B．AC1⊥BD C．AC1与CD成45°角 D．A1C1与B1C成60°角 【解析】由A1C1∥AC，AC⊂平面ABCD，A1C1⊄平面ABCD，知A1C1∥平面ABCD，A正确；由BD⊥平面ACC1A1知BD⊥AC1，B正确；由A1D∥B1C可知，∠DA1C1为A1C1与B1C所成的夹角，又∵△DA1C1为等边三角形，∴∠DA1C1＝60°.故选ABD. 3（填空）如图，在三棱锥A­BCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是____________． 【解析】连接ND，取ND 的中点为E，连接ME，EC，则ME∥AN，异面直线AN，CM所成的角即为∠EMC(或其补角)， ∵AN＝2，CN＝1，∴ME＝.又CM＝2，NE＝，∴CE＝， ∴cos∠EMC＝＝＝.故填. 4（解答）如图，已知正方体ABCD­A′B′C′D′. (1)哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？ (2)直线BA′和CC′的夹角是多少？ (3)哪些棱所在的直线与直线AA′垂直？ 【解析】(1)由异面直线的定义可知，棱AD，DC，CC′，DD′，D′C′，B′C′所在直线分别与直线BA′是异面直线． (2)由BB′∥CC′可知，∠B′BA′为异面直线BA′与CC′的夹角，∠B′BA′＝45°，所以直线BA′与CC′的夹角为45°. (3)直线AB，BC，CD，DA，A′B′，B′C′，C′D′，D′A′分别与直线AA′垂直． 【归纳反思】 1.求异面直线所成角的方法 方法一：综合法.步骤为：①利用定义构造角，可固定一条直线，平移另一条直线，或将两条直线同时平移到某个特殊的位置；②证明找到(或作出)的角即为所求角；③通过解三角形来求角. 方法二：空间向量法.步骤为：①求出直线a，b的方向向量，分别记为m，n；②计算cos〈m，n〉＝；③利用cos θ＝|cos〈m，n〉|，以及θ∈，求出角θ.　 2.利用几何法求异面直线所成的角时，通过平移直线所得的角不一定就是两异面直线所成的角，也可能是其补角. 3.用向量法时，要注意向量夹角与异面直线所成角的范围不同. 热点（二）直线与平面所成的角 1（单选）在三棱柱ABC­A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 【解析】如图，取BC的中点E，连接AE，DE，可知AE⊥侧面BB1C1C，∠ADE就是AD与侧面BB1C1C所成的角．设各棱长为a，则在Rt△AED中，DE＝a，AE＝a，tan∠ADE＝，所以∠ADE＝60°.故选C. 2（多选）在平面四边形ABCD中，AB＝BD＝CD＝1，AB⊥BD，CD⊥BD.将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图所示．则下列说法正确的有（ ） A. AB⊥CD B. ABCD C. 若M为AD中点，直线AD与平面MBC所成角的正弦值为 D. 若M为AD中点，直线AD与平面MBC所成角的正弦值为 【解析】∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AB⊂平面ABD，AB⊥BD，∴AB⊥平面BCD.又CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD.A正确，B错误；过点B在平面BCD内作BE⊥BD，如图． 由(1)知AB⊥平面BCD，BE⊂平面BCD，BD⊂平面BCD.∴AB⊥BE，AB⊥BD. 以B为坐标原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系