6.1.2 空间向量的数量积 校本讲义-2022-2023学年高二下学期数学苏教版（2019）选择性必修第二册

江苏省泰兴市第三高级中学虹桥校区校本化讲义 编号002 §6.1.2 空间向量的数量积 目标要求 1、经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程. 2、理解并掌握空间向量的数量积运算. 3、理解空间向量投影的概念以及投影向量的意义. 学科素养目标 本章是在数学必修第二册“平面向量”的基础上展开的,内容包括空间向量的基本概念和运算,以及用空间向量解决直线、平面位置关系的问题等内容.通过本章的学习,要使学生体会向量方法在研究几何图形中的作用,并进一步培养学生的空间想象力. 本章充分利用空间向量与平面向量之间的内在联系,通过类比,引导学生将平面向量中的概念、运算以及处理问题的方法推广到空间,既使相关内容相互沟通,又使学生学习类比、归纳、推广、化归等思想方法,促使他们体会数学探索活动的基本规律,提高他们对向量的整体认识水平.空间向量的概念、运算、正交分解、坐标表示以及用空间向量表示空间中的几何元素等,都是通过与平面向量的类比完成的.学生可以从中体验数学在结构上的和谐性,同时也感悟到推广过程中因维数增加所带来的影响.在内容叙述过程中,通过“旁白”、“思考”、“实验”、“链接”和习题中的“思考·运用”、“探究·拓展”等为学生提供了较大的思维空间. 重点难点 重点:空间向量的数量积运算; 难点:空间向量的投影. 教学过程 基础知识点 1.两个向量的夹角 2.两个向量的数量积 3.投影向量 对于空间任意两个非零向量a,b,设向量=a,=b,过点A作AA1⊥OB,垂足为A1,上述由向量a得到向量OA1的变换称为向量a向向量b投影,向量_称为向量a在向量b上的投影向量. 【课前小题演练】 题1.已知向量是两两垂直的单位向量,且,则 ( ) A.15 B.3 C.-3 D.5 题2.已知,且,则λ= ( ) A. B. C. D.1 题3.下列结论中正确的是( ) A.(a·b)·c=(b·c)·a B.若a·b=-|a||b|,则a∥b C.若a,b,c为非零向量,且a·c=b·c,则a∥b D.若a2=b2,则a=b 题4.在棱长为2的正四面体ABCD中,E,F分别是BC,AD的中点,则 ( ) A.0 B.-2 C.2 D.-3 题5.如图,一个结晶体的形状是平行六面体ABCD A1B1C1D1,以顶点A为端点的三条棱长均是1,且它们彼此的夹角都是,则体对角线AC1的长度是( ) A. B.2 C. D. 题6. 知棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的上底面A₁B₁C₁D₁的中心为O₁,则的值为 ( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 题7.已知向量a,b满足(a+2b)·(a-b)=-6,且|a|=1,|b|=2,则a与b的夹角为_. 【当堂巩固训练】 题8. 若且,则向量与的夹角是 ( ) A.30° B.60° C.120° D.150° 题9.设A,B,C,D是空间不共面的四个点,且满足,则△BCD的形状是 ( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形 题10. 在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中,向量两两的夹角均为60°,且 ,则等于 ( ) A.5 B.6 C.4 D.8 题11. 已知a,b均为单位向量,它们的夹角为60°,那么|a+3b|等于( ) A. B. C. D.4 题12.在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中,下列结论错误的是 ( ) A. B. C.向量与的夹角是120° D.正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积为 题13.已知正四面体ABCD的棱长为a,点E,F,H分别是BC,AD,AE的中点,则·的值为( ) A.a2 B.a2 C.a2 D.a2 题14. 直三棱柱A₁B₁C₁-ABC的底面是边长为2的正三角形,侧棱长为3,M,N 分别为A₁C₁,BC的中点,则 ( ) A.2 B.-2 C. D. 题15(多选题).下列各命题中,正确的命题为 ( ) A. B. C. D. 题16(多选题). 在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中,下列结论正确的是 ( ) A.四边形ABC₁D₁的面积为 B.与的夹角为60° C. D. 题17.如图所示,已知空间四边形每条边和对角线长都为a,点E,F,G分别是AB,AD,DC的中点,则2·=_;2·=_. 题18. 自然界中,构成晶体的最基本的几何单元称为晶胞,其形状一般是平行六面体,具体形状、大小由它的三组棱长a、b、c及棱间交角α、β、γ(合称为“晶胞参数”)来表征.如图是某种晶体的晶胞,其中a=2,b=c=1,α=60°,β=90°,γ=120°,则该晶胞的对角线AC₁的长为_. 题19.如图,在空间四边形OABC中,OA=8,AB=6,AC=4,BC=5,∠OAC=45°,∠OAB=60°,则异面直线OA与B