笔记&必记 第5章 数列-【志鸿优化训练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第三册(人教B版2019)

第五章数列▣ 第五章数列 5.1数列基础 5.1.1 数列的概念 1.数列及其有关概念 (1)按照一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数都称为这个数列的 项.每一项都与正整数对应，各项依次称为这个数列的第1项（或首项），第2项，·， 第n项，…. (2)数列的一般形式可以写成a1,a2,a3,…,am,…,其中an表示数列的第n项（也称n 为am的序号，其中n为正整数，即n∈N-),称为数列的通项.此时，一般将整个数列简记 为{am},这里的小写字母a也可以换成其他小写英文字母. 微思考：数列1,2,3与数列3,2,1是同一个数列吗？ 提示：不是.顺序不一样， 2.通项公式 一般地，如果数列的第n项am与n之间的关系可以用am=f(n)来表示，其中f(n)是 关于的不含其他未知数的表达式，则称上述关系式为这个数列的一个项通公式 【温馨提示】不是所有数列都能写出通项公式，若数列有通项公式，通项公式表达式 不一定唯一 3.数列的分类 (1)按项数分类：项数有限的数列称为有穷数列，项数无限的数列称为无穷数列. (2)按项的大小变化分类：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列称为递增数 列；从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列称为递减数列；各项都相等的数列称为 常数列： 4.从函数的角度认识数列 数列{αn}可以看成定义域为正整数集的子集的函数，数列中的数就是自变量从小到 大依次取正整数值时对应的函数值，而数列的通项公式也就是相应函数的解析式： 思维辨析 1.1,2,8,100不是一个数列.（×) 数学· ☑笔记&必记 2.数列1,3,5,7，…的第10项是21.(×) 3.每一个数列都有通项公式.(×) 4.如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列.(×) 【例1】下列数列哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？哪些是递增数列？哪些是递 减数列？哪些是常数列？ (1)2010,2012,2014,2016,2018; 12n-1. (2)0,23,, n,… 31分2 1 1111 （4)1X2'2X3'3X4'4X5 (5)9,9,9,9,9,9. 有穷数列：(1)(5) 无穷数列：(2)(3)(4) 递增数列：(1)(2) 递减数列：(3)(4) 常数列数：(5) 【反思】判断数列的单调性时一定要确保每一项均大于（或均小于）后一项，不能有 例外 【例2】写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： 1,-33-子 22号8 (3)9,99,999,9999. 【解】(1)这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为正，偶数项为 负，所以它的一个通项公式为4，（一1)中，m∈N, n 149 (2)数列中的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：2,2,2， …,所以它的一个通项公式为0，=号，n∈N 16 2 ·数学 第五章数列白 (3)各项加1后，变为10,100,1000,10000，…，此数列的通项公式为10”，可得原数 列的一个通项公式为an=10”-1,n∈N+. 【反思】要由数列的前几项写出数列的一个通项公式，只需观察分析数列中项的构成 规律，看哪些部分不随序号的变化而变化，哪些部分随序号的变化而变化，确定变化部分 随序号变化的规律，继而将am表示为n的函数关系， 【例3】I)已知数列{u,}的通项公式为a,=十2)m∈N),那么20是这个数列 的第 项 【答案】10 【解标】“mm十2万05r+2m-120=0,1=10(负数含去). (2)已知数列{an}中，an=一n2十25n(n∈N+),则数列{an}的最大项是第 项 【答案】12或13 是关于n的二次函数，又n∈N+,∴.当n=12或 n=13时，an最大， 【反思】(1)判断某数是不是该数列的项，相当于已知y求x,若求出的x是正整数， 则y是该数列的项，否则不是. (2)利用函数的性质研究数列的单调性与最值. 5.1.2数列中的递推 1.递推公式 如果已知数列的首项（或前几项），且数列的相邻两项或两项以上的关系都可以用一 个公式来表示，则称这个公式为数列的递推关系（也称为递推公式或递归公式） 【温馨提示】(1)与所有的数列不一定都有通项公式一样，并不是所有的数列都有递 推公式 (2)递推公式也是表示数列的一种重要方法，它和通项公式一样，都是关于项数的 恒等式 (3)递推公式可以通过赋值逐项求出数列的项，直至求出数列的任何一项和所需 的项. 2.递推公式与通项公式的比较 通项公式和递推公式都是给出数列的方法.已知数列的通项公式，可以直接求出任 数学· ☑笔记&必记 意一项；已知递推公式，要求某一项，则必须依次求出该项前面所有的项. 3.数列中a与S的关系 对于一般数列{an},设其前n项和为Sn, S1,n