(讲义)专题6 第3讲 圆锥曲线解答题考法探究-【红对勾】2023版新高考数学二轮复习讲与练

第一部分 专题六 解析几何 方向2 中点弦问题 [例4] 已知椭圆C:x 2 a2+ y2 b2= 1(a>b> 0)的离心率为 63. (1)证明:a= 3b; (2)若点M 9 10 ,- 3 10 在椭圆C的内部,过 点M 的直线l交椭圆C 于P,Q 两点,M 为线段 PQ 的中点,且OP ⊥OQ. ① 求直线l的方程; ② 求椭圆C 的标准方程. 1.处理中点弦问题常用的求解方法 根与系 数的关系 → 联立 直 线 与 椭 圆 的 方 程 得 到 方 程 组,化为一元二次方程后由根与系 数的关系求解 点差法 → 设出弦的两端点坐标后, 代入椭圆 的方程,将两式相减,式中含有x1+ x2,y1+y2, y1-y2 x1-x2 三个未知量,这 样就 直 接 联 系 了 中 点 和 直 线 的 斜 率,借用中点坐标公式可求得斜率 2.中点弦问题常用的两种求解方法各有弊端:根 与系数的关系在解题过程中易产生漏解,需关注直线 的斜率问题;点差法在确定范围方面略显不足. 1.已知双曲线E 的中心为原点,F(3,0)是E 的 焦点,过F 的直线l与E 相交于A,B 两点,且 AB 的中点为N(-12,-15),则E 的方程为 ( ) A.x 2 3- y2 6=1 B. x2 4- y2 5=1 C.x 2 6- y2 3=1 D. x2 5- y2 4=1 2.(2022·南充市适应性考试)已知椭圆C:x 2 a2+ y2 b2= 1(a>b>0)的左焦点为F,过点F的直 线x-y+ 2=0与椭圆C相交于不同的两点 A,B.若P 为线段AB的中点,O为坐标原点, 直线OP 的斜率为- 1 2 ,则椭圆C 的方程为 ( ) A.x 2 3+y 2=1 B.x 2 4+ y2 2=1 C.x 2 5+ y2 3=1 D.x 2 6+ y2 3=1 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 十三 第三讲 圆锥曲线解答题考法探究 求值与证明问题 [例1] (2021·新高考全国 Ⅰ 卷)在平面 直角坐标系xOy 中,已知点 F1(- 17,0), F2(17,0),点M 满足|MF1|-|MF2|=2.记 M 的轨迹为C. (1)求C 的方程; (2)设点T 在直线x= 1 2 上,过T 的两条直 线分 别 交 C 于 A,B 两 点 和 P,Q 两 点,且 |TA|·|TB|=|TP|·|TQ|,求直线AB的斜 率与直线PQ 的斜率之和. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 057 讲与练 高三二轮·数学 若A(x1,y1),B(x2,y2) 是直线y=kx+b(k≠ 0) 上 的 两 点, 则 |AB|= 1+k2 |x1 -x2|= 1+ 1 k2 |y1-y2| ,称此公式为直线上两点间的距 离公式,若A,B 是直线与圆锥曲线的交点,则此公式即 我们通常所说的弦长公式.注意此公式不仅求弦长时可 以使用,只要是求直线上两点间的距离都可以用. 已知椭圆C 的离心率为 32 ,长轴的两个端点 分别为A(-2,0),B(2,0). (1)求椭圆C 的标准方程; (2)过点(1,0)的直线l与椭圆C 交于M, N(不与A,B 重合)两点,直线AM 与直线 x=4交于点Q,求证:B,N,Q 三点共线. 最值、范围问题 [例2] (2022·石家庄市质量检测)已知 点 E(2,0),F 2 2 ,0 ,点 A 满 足 |AE |= 2|AF|,点A 的轨迹为曲线C. (1)求曲线C 的方程; (2)若直线l:y=kx+m 与双曲线: x2 4 - y2 9=1 交于M,N 两点,且∠MON= π 2 (O 为坐 标原点),求点A 到直线l的距离的取值范围. 求圆锥曲线中范围、最值问题的主要方法 (1) 几何法:若题目中的条件和结论能明显体现 几何特征 和 意 义, 则 考 虑 利 用 图 形 性 质 数 形 结 合 求解. (2) 代数法:若题目中的条件和结论能体现一种 明确的函数关系,或者不等关系,或者已知参数与新 参数之间的等量关系等,列出含参数的函数式;可利 用求函数值域(最值) 或基本不等式、换元法、导数法, 利用已知或隐含的参数范围求最值、范围.特别是分 式形式时,会用换元法将复杂化为简单. 已知点A(-2,0),B(2,0),动点M(x,y)满 足直线AM 与BM 的斜率之积为- 1 2. 记M 的轨迹为曲线C. (1)求C 的方程,并说明C 是什么曲线; (2)过坐