(讲义)专题6 第2讲 圆锥曲线的方程与性质-【红对勾】2023版新高考数学二轮复习讲与练

讲与练 高三二轮·数学 第二讲 圆锥曲线的方程与性质 1.圆锥曲线的定义 (1)椭圆:|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|). (2)双曲线:||PF1|-|PF2||=2a(0< 2a<|F1F2|). (3)抛物线:|PF|=|PM|,l为抛物线的准 线,点F 不在定直线l上,PM ⊥l于点M. 2.求圆锥曲线标准方程“先定型,后计算” 所谓“定型”,就是确定曲线焦点所在的坐标 轴的位置;所谓“计算”,就是指利用待定系数 法求出方程中的a2,b2,p 的值. 3.圆锥曲线的重要性质 (1)椭圆、双曲线中a,b,c之间的关系 ① 在椭 圆 中:a2 =b2 +c2,离 心 率 为e= c a = 1- b2 a2 ; ②在双曲线中:c2=a2+b2,离心率为e= c a= 1+ b2 a2 . (2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标 ① 双曲线x 2 a2- y2 b2= 1(a>0,b>0)的渐近线 方程为y=± b ax ,焦点坐标为F1(-c,0), F2(c,0); ② 双曲线y 2 a2- x2 b2= 1(a>0,b>0)的渐近线 方程为y=± a bx ,焦点坐标为F1(0,-c), F2(0,c). (3)抛物线的焦点坐标与准线方程 ① 抛物线y2=±2px(p>0)的焦点坐标为 ±p2 ,0 ,准线方程为x=∓p2; ② 抛物线x2=±2py(p>0)的焦点坐标为 0,±p2 ,准线方程为y=∓p2. 4.弦长问题 (1)弦长公式 设直线斜率为k,直线与圆锥曲线交于A(x1, y1),B(x2,y2)时, |AB|= 1+k2|x1-x2|= 1+k2 (x1+x2)2-4x1x2 或|AB|= 1+ 1 k 2 |y1-y2|= 1+ 1 k 2 (y1+y2)2-4y1y2. (2)过抛物线焦点的弦长 过抛物线y2=2px(p>0)焦点F 的弦AB, 若 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1x2 =p 2 4 , y1y2=-p2,弦长|AB|=x1+x2+p. 1.(2022·开封市二模)已知点(2,1)是椭圆C: x2 a2+ y2 b2= 1(a>b>0)上一点,则连接椭圆 C 的四个顶点构成的四边形的面积 ( ) A.有最小值4 B.有最小值8 C.有最大值8 D.有最大值16 2.(2022·广州适应性测试)设F1,F2 是双曲线 C:x 2 a2- y2 b2= 1(a>0,b>0)的左、右焦点.若 双曲线C 上存在点P 满足|PF1|∶|PF2|= 2∶1且∠F1PF2=90°,则双曲线C 的渐近线 方程是 ( ) A.x±2y=0 B.2x±y=0 C.5x±4y=0 D.4x±5y=0 3.(2021·新高考全国 Ⅱ 卷)抛 物 线y2 = 2px(p>0)的焦点到直线y=x+1的距离 为 2,则p= ( ) A.1 B.2 C.22 D.4 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 054 第一部分 专题六 解析几何 4.(2022·全国甲卷)椭圆C:x 2 a2 + y2 b2 = 1(a> b>0)的左顶点为A,点P,Q 均在C上,且关 于y 轴对称.若直线AP,AQ 的斜率之积为 1 4 ,则C 的离心率为 ( ) A.32 B.22 C.12 D.13 5.(2021·新高考全国 Ⅰ 卷)已知O 为坐标原 点,抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,P 为C 上一点,PF 与x 轴垂直,Q 为x 轴上一 点,且PQ⊥OP.若|FQ|=6,则C的准线方 程为 . 6.(2021·全国甲卷)已知F1,F2为椭圆C: x2 16+ y2 4=1 的两个焦点,P,Q为椭圆C上关于坐标 原点对称的两点,且|PQ|=|F1F2|,则四边 形PF1QF2 的面积为 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 圆锥曲线的定义及标准方程 [例1] (1)设椭圆x 2 4+ y2 3=1 的一个焦点 为F,则对于椭圆上两动点A,B,△ABF 的周 长的最大值为 ( ) A.4+ 5 B.6 C.25+2 D.8 (2)设F(c,0)为双曲线E:x 2 a2- y2 b2= 1(a> 0,b>0)的右焦点,圆x2+y2=c2与E 的两条 渐近线分别相交于A,B 两点,O 为坐标原点,若 四边形