(讲义)专题5 第2讲 随机变量及其分布-【红对勾】2023版新高考数学二轮复习讲与练

第一部分 专题五 概率与统计 溺水、触电等与学生安全有关的问题越来越 受到社会的关注和重视,为了普及安全教育, 某市组织了一次学生安全知识竞赛,规定每 队3人,每人回答一个问题,答对得1分,答错 得0分.在竞赛中,假设甲队每人回答问题的 正确率均为2 3 ,乙队每人回答问题的正确率 分别为1 2 ,2 3 ,3 4 ,且两队各人回答问题正确与 否相互之间没有影响. (1)分别求甲队总得分为3分与1分的概率; (2)求甲队总得分为2分且乙队总得分为1分 的概率. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 九 第二讲 随机变量及其分布 1.离散型随机变量的均值、方差 (1)离散型随机变量X 的分布列为 X x1 x2 x3 … xi … xn P p1 p2 p3 … pi … pn 离散型随机变量X 的分布列具有两个性质: ①pi≥0; ②p1+p2+…+pi+…+pn =1(i=1,2, 3,…,n). (2)E(X)=x1p1+x2p2+…+xipi+…+ xnpn 为随机变量X 的数学期望或均值. D(X)=(x1-E(X))2·p1+(x2-E(X))2· p2+…+(xi -E(X))2·pi +…+(xn - E(X))2·pn 叫做随机变量X 的方差. (3)数学期望、方差的性质. ①E(aX + b)= aE(X)+ b,D(aX + b)=a2D(X). ②X ~ B(n,p),则 E(X)=np,D(X)= np(1-p). ③X 服从两点分布,则E(X)=p,D(X)= p(1-p). 2.二项分布 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p,那 么它在n重伯努利试验中恰好发生k 次的概 率为Pn(k)=Cknpk(1-p)n-k,k=0,1,2,…, n.用X 表示事件A 在n次独立重复试验中发 生的次数,则X 服从二项分布,即X ~B(n, p)且P(X =k)=Cknpk(1-p)n-k(k=0,1, 2,…,n). 3.超几何分布 在含有M 件次品的N 件产品中,任取n件,其 中恰有X 件次品,则P(X=k)= CkMCn-kN-M CnN ,k= m,m+1,m+2,…,r.其中n,N,M ∈N*, M ≤N,n≤N,m=max{0,n-N+M},r= min{n,M},此时称随机变量X 服从超几何分 布.超几何分布的模型是不放回抽样,超几何 分布中的参数是M,N,n. 4.正态分布 函数f(x)= 1 2πσ e - (x-μ) 2 2σ2 ,x∈(-∞,+∞),其 中实数μ 和σ(σ>0)为参数. 显然,对任意的x ∈R,f(x)>0,它的图象 在x 轴的上方.可以证明x 轴和曲线之间的 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 041 讲与练 高三二轮·数学 区域的面积为1.我们称f(x)为正态密度函 数,称它的图象为正态密度曲线,简称正态曲 线.若随机变量 X 的概率分布密度函数为 f(x),则称随机变量X 服从正态分布,记为 X ~N(μ,σ2).特别地,当μ=0,σ=1时,称 随机变量X 服从标准正态分布. 对给定的k∈N*,P(μ-kσ≤X ≤μ+kσ) 是一个只与k有关的定值.特别地, P(μ-σ≤X ≤μ+σ)≈0.682 7, P(μ-2σ≤X ≤μ+2σ)≈0.954 5, P(μ-3σ≤X ≤μ+3σ)≈0.997 3. 1.(2022·济南历城二中3月模拟)从一批含有 13件正品,2件次品的产品中不放回地抽3 次,每次抽取1件,设抽取的次品数为ξ,则 E(5ξ+1)= ( ) A.2 B.1 C.3 D.4 2.(2022·南京、盐城模拟(二))泊松分布是统计 学里常见的离散型概率分布,由法国数学家 泊松首次提出.泊松分布的概率分布列为 P(X =k)= λk k! e -λ(k=0,1,2,…),其中e为 自然对数的底数,λ 是泊松分布的均值.已知 某种商品每周销售的件数相互独立,且服从 参数为λ(λ>0)的泊松分布.若每周销售1件 该商品与每周销售2件该商品的概率相等,则 两周共销售2件该商品的概率为 ( ) A.2 e4 B.4 e4 C.6 e4 D.8 e4 3.(2021·新高考全国Ⅱ卷)某物理量的测量结 果服从正态分布N(10,σ2),下列结论中不正 确的是 ( ) A.σ 越小,该物理量在一次测量中落在(9.9, 10.1)内的概率越大 B.该物理量在一次测量中大于10的概率 为0.5 C