(讲义)专题4 第3讲 空间向量与立体几何-【红对勾】2023版新高考数学二轮复习讲与练

讲与练 高三二轮·数学 第三讲 空间向量与立体几何 1.直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向 量方法 设直线l的方向向量为a=(a1,b1,c1),平面 α,β的法向量分别为u=(a2,b2,c2),v=(a3, b3,c3),则 (1)线面平行 l∥α⇔a⊥u⇔a·u=0⇔a1a2+b1b2+c1c2= 0. (2)线面垂直 l⊥α⇔a∥u⇔a=ku⇔a1=ka2,b1=kb2, c1=kc2. (3)面面平行 α∥β⇔u∥v⇔u=λv⇔a2=λa3,b2=λb3, c2=λc3. (4)面面垂直 α⊥β⇔u⊥v⇔u·v=0⇔a2a3+b2b3+c2c3= 0. 2.直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的 角计算 设直线l,m 的方向向量分别为a=(a1,b1, c1),b=(a2,b2,c2),平面α,β 的法向量分别 为u=(a3,b3,c3),v=(a4,b4,c4)(以下相同). (1)线线夹角 设l,m 的夹角为θ0≤θ≤ π 2 ,则 cos θ=| a·b| |a||b|= |a1a2+b1b2+c1c2| a21+b21+c21 a22+b22+c22 . (2)线面所成的角 设直线l与平面α 的所成的角为θ 0≤θ≤ π 2 ,则sin θ=| a·u| |a||u|=| cos<a,u>|. (3)平面与平面的夹角 平面α 与平面β 的夹角为θ,则 ①θ∈ 0, π 2 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 ; ②cos θ=|cos<u,v>|= | u·v| |u|·|v| . 3.空间距离 (1)点到直线的距离 直线l的单位方向向量为u,A是直线l上的任 一点,P 为直线l外一点,设AP→=a,则点P 到 直线l的距离d= a2-(a·u)2. (2)点到平面的距离 平面α的法向量为n,A 是平面α内任一点,P 为平面α 外一点,则点P 到平面α 的距离为 d=| AP→·n| |n| . 1.(2022·全国甲卷)在四棱锥 P-ABCD 中,PD⊥底面ABCD, CD ∥AB,AD=DC=CB=1, AB=2,DP= 3. (1)证明:BD ⊥PA; (2)求PD 与平面PAB 所成的角的正弦值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 032 第一部分 专题四 立体几何 2.(2021·新高考全国Ⅱ卷)在四棱锥Q-ABCD 中,底面ABCD 是正方形,若AD =2,QD = QA= 5,QC=3. (1)证明:平面QAD ⊥ 平面ABCD; (2)求二面角B-QD-A 的平面角的余弦值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 利用空间向量证明平行与垂直 [例 1] 如 图,在 四 棱 锥 P-ABCD 中, PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,AB∥DC,AD= DC=AP=2,AB =1,点E 为棱PC 的中点. 证明: (1)BE ⊥DC; (2)BE ∥ 平面PAD; (3)平面PCD ⊥ 平面PAD. 利用空间向量证明空间垂直、平行的一般步骤 (1) 建立空间直角坐标系,建系时要尽可能地利 用条件中的垂直关系. (2) 建立空间图形与空间向量之间的关系,用空 间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素. (3) 通过空间向量的运算求出直线的方向向量或 平面的法向量,再研究平行、垂直关系. (4) 根据运算结果解释相关问题. 如图,在直三棱柱ADE- BCF中,平面ABFE和平 面ABCD 都是正方形且 互相垂直,点M 为AB 的 中点,点 O 为DF 的中点.运用向量方法 证明: (1)OM ∥ 平面BCF; (2)平面MDF ⊥ 平面EFCD. 直线与平面所成的角 [例2] (2022·佛山市质量 检测)如图,在以P,A,B,C,D为 顶点的五面体中,平面ABCD 为 等腰梯形,AB ∥CD,AD=CD= 1 2AB ,平面 PAD ⊥ 平面PAB,PA⊥PB. (1)求证:△PAD 为直角三角形; (2)若AD=PB,求直线PD与平面PBC所 成角的正弦值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 033