(讲义)专题4 第1讲 空间几何体-【红对勾】2023版新高考数学二轮复习讲与练

考情分析 本板块为高考必考内容,从近两年高考来看,均以“两小一大”的形式呈现,难度覆盖难、中、易,注意 此板块容易出综合性、开放性试题 考情解读 重在考查空间几何体的表面积、体积和空间线面位置关 系,其命题视角: (1)以空间几何体或与球的组合体为背景考查表面积、体积, 球的性质等; (2)有时结合空间中点线面位置关系判断线、面平行与垂直; (3)将立体几何的基本知识与生活实际、传统文化相结合考查 重在考查线面关系的证明及空间角 的计算,其命题视角:以空间几何体为载 体考查空间角是高考命题的重点,主要 考查证明相关直线和平面位置关系,以 及用向量方法解决直线与平面所成角、 二面角的计算问题.难度主要体现在建 立合适的空间直角坐标系和准确计算上 第一讲 空间几何体 1.空间几何体的两组常用公式 (1)柱体、锥体、台体和球的表面积公式: ① 圆柱的表面积S=2πr(r+l); ② 圆锥的表面积S=πr(r+l); ③ 圆台的表面积S=π(r'2+r2+r'l+rl); ④ 球的表面积S=4πR2. (2)柱体、锥体、台体和球的体积公式: ①V柱体 =Sh(S 为底面面积,h 为高); ②V锥体 = 1 3Sh (S 为底面面积,h 为高); ③V台体 = 1 3 (S上 +S下 + S上S下 )h(S上,S下 分别为上、下底面面积,h 为高); ④V球 = 4 3πR 3. 2.球的简单组合体中几何体度量之间的关系, 如棱长为a 的正方体的外接球、内切球、棱切 球的半径分别为 3 2a ,a 2 ,2 2a. 1.(2022·甘肃诊断考试)陀螺是 中国民间最早的娱乐工具之 一,如图所示的是一个陀螺的 立体结构图.已知底面圆的直 径AB=16 cm,圆柱体部分的高BC=8 cm, 圆锥体部分的高CD=6 cm,则这个陀螺的表 面积是 ( ) A.192π cm2 B.252π cm2 C.272π cm2 D.336π cm2 2.(2021·新高考全国Ⅰ卷)已知圆锥的底面半 径为 2,其侧面展开图为一个半圆,则该圆锥 的母线长为 ( ) A.2 B.22 C.4 D.42 3.已知∠ABC=90°,PA⊥平面ABC,若PA= AB=BC=1,则四面体PABC 的外接球(顶 点都在球面上)的体积为 ( ) A.π B.3π C.2π D.3π2 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 026 第一部分 专题四 立体几何 4.(2022·新高考全国Ⅰ卷)南水北调工程缓解 了北方一些地区水资源短缺问题,其中一部 分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔 148.5 m时,相应水面的面积为140.0 km2;水 位为海拔157.5 m时,相应水面的面积为180.0 km2.将该水库在这两个水位间的形状看作一 个棱台,则该水库水位从海拔148.5 m上升到 157.5 m时,增加的水量约为(7≈2.65) ( ) A.1.0×109 m3 B.1.2×109 m3 C.1.4×109 m3 D.1.6×109 m3 5.已知圆锥的底面半径为1,母线长为3,则该圆 锥内半径最大的球的体积为 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 空间几何体的表面积与体积 [例1] (1)(多选题)攒 尖是我国古代建筑中屋顶的 一种结构形式,宋代称为撮 尖,清代称为攒尖,通常有圆形攒尖、三角攒尖、 四角攒尖、八角攒尖,也有单檐和重檐之分,多 见于亭阁式建筑和园林建筑.下面以四角攒尖 为例,如图,它的屋顶部分的轮廓可近似看作一 个正四棱锥.已知此正四棱锥的侧面与底面所 成的锐二面角为θ,这个角接近30°,若取θ= 30°,侧棱长为 21米,则 ( ) A.正四棱锥的底面边长为6米 B.正四棱锥的底面边长为3米 C.正四棱锥的侧面积为243平方米 D.正四棱锥的侧面积为123平方米 (2)已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB 所 成角的余弦值为7 8 ,SA 与圆锥底面所成角为 45°.若△SAB 的面积为5 15,则该圆锥的侧面 积为 . 计算空间几何体的表面积与体积的易错点 (1) 计算表面积时,有些面的面积没有计算到(或 重复计算). (2) 一些不规则几何体的体积不会采用分割法或 补形思想转化求解. (3) 求几何体体积的最值时,不注意使用基本不 等式或求导等确定最值. 1.已知正四棱锥P-ABCD 的底面正方形的中心 为O,若高PO= 2,∠PAO=45°,则该