(讲义)专题3 提分微课2 数列的热点问题-【红对勾】2023版新高考数学二轮复习讲与练

第一部分 专题三 数列 (2022·广东省实验中学阶段性测试)已知数 列{an},{bn},a1 =1,b1 = 1 3 ,an =an-1 + 2n-1(n≥2),bn= an-1+1 anan+1 (n≥2),Sn 为数列 {bn}的前n 项和,Tn 为数列{Sn}的前n 项和. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{bn}的前n项和Sn; (3)求证:Tn > n 2- 1 3. an 与Sn 的关系问题 [例4] (2022·八省八校联考)设数列{an} 的前n项和为Sn,且2Sn +1=3an(n∈N*). (1)求Sn; (2)证明:当n≥2时,2Sn + 3 an ≥ 9. 1.给出Sn 与an 的递推关系求an,常用思路:一是 利用an=Sn-Sn-1(n≥2) 转化为an 的递推关系,再 求其通项公式;二是转化为Sn 的递推关系,先求出Sn 与n之间的关系,再求an. 2.由Sn 求an 时,一定注意分n=1和n≥2,两种 情况,最后验证两者是否能合为一个式子,若不能,则 利用分段形式来表示. 1.(2022·长春市质量监测)已知数列{an}中, a1=1,a2=2,且an·an+1·an+2=an+an+1+ an+2,其中n ∈N*,则a1+a2+a3+…+ a2 022= . 2.(2022·北京卷)已知数列{an}的各项均为正 数,其前n 项和Sn 满足an·Sn =9(n=1, 2,…).给出下列四个结论: ①{an}的第2项小于3;②{an}为等比数列; ③{an}为递减数列;④{an}中存在小于 1 100 的项. 其中所有正确结论的序号是 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 五 提分微课(2) 数列的热点问题 数列具有函数的性质,又具本身独特的性 质,是历年高考重点考查的对象.主要体现在数 列与函数、不等式、最值的结合,另外数列的探 究性问题、新背景问题也是近年高考的热点问 题,考查了逻辑推理能力、探究能力以及解决实 际问题的能力. 1.数列的单调性 [例1] 已知数列{an},a1=1,前n项和Sn 满足nSn+1-(n+3)Sn =0. (1)求{an}的通项公式; (2)设cn=2n n an - λ ,若数列{cn}是递减 数列,求实数λ 的取值范围. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 023 讲与练 高三二轮·数学 破解此类求参数范围问题的关键:一是会求数列 的通项,可以利用定义法、构造法等求出数列的通项 公式;二是活用数列的单调性,如本例利用数列{cn} 是单调递减数列,得到cn+1 <cn(n∈N* ),从而找到 参数所满足的不等式,解不等式(或构造函数利用导 数求解),即可求出参数的取值范围.另外要特别注 意,数列作为一类特殊的函数,其定义域是正整数(或 它的有限子集). 2.数列中的最值 [例2] (2022·武汉市模拟)已知数列 {an}满足a1=1,a2=2,且对任意n∈N*,都有 an+2=3an+1-2an. (1)求证:{an+1 -an}是等比数列,并求 {an}的通项公式; (2)求使得不等式1a1+ 2 a2+ …+ m am ≤ 15 4 成 立的最大正整数m. 数列中的最值问题一般涉及求数列{an} 项的最 值,前n项和Sn 的最值及序号n的最值.求解数列最 值的常用方法: (1) 利用等差数列、等比数列的单调性; (2) 先用比较法证明数列{an} 的单调性,然后利 用单调性求{an} 的最值; (3) 构造函数,利用基本不等式求最值. 3.数列的探究 [例3] (2022·全国乙卷)嫦娥二号卫星 在完成探月任务后,继续进行深空探测,成为我 国第一颗环绕太阳飞行的人造行星.为研究嫦 娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值,用到 数列{bn}:b1=1+ 1 α1 ,b2=1+ 1 α1+ 1 α2 ,b3=1+ 1 α1+ 1 α2+ 1 α3 ,….以此类推,其中αk ∈N*(k= 1,2,…),则 ( ) A.b1<b5 B.b3<b8 C.b6<b2 D.b4<b7 本题通过归纳探究考查了考生的理性思维和数 学的探索能力,也可以通过特殊值法求解,体现特殊 化方法.另外,本题以嫦娥二号卫星探月为背景体现 了数列的应用,突出了数学的应用功能. 4.数列与数学文化 [例4] (多选题)(2022· 山东青岛联考)如图所示的形 状出现在南宋