(讲义)专题3 第2讲 数列求和与数列的应用-【红对勾】2023版新高考数学二轮复习讲与练

讲与练 高三二轮·数学 (1)求a2,a3 的值; (2)是否存在实数λ,使得数列 an +λ 2n 为等 差数列? 若存在,求出λ 的值;若不存在,请 说明理由. 等差数列、等比数列的性质应用 [例3] (1)已知1,a1,a2,3成等差数列,1, b1,b2,b3,4成等比数列,则 a1+a2 b2 的值为 ( ) A.2 B.-2 C.±2 D. 5 4 (2)已知正项等比数列{an},满足a2·a27· a2 024=16,则a1·a2·…·a1 019= ( ) A.41 019 B.21 019 C.41 020 D.21 020 (3)已知等比数列{an}的前n 项和为Sn, S4 =1,S8 =3,则 a13 +a14 +a15 +a16 = . 等差、等比数列性质使用的注意点 (1) 若m+n=p+q=2k(m,n,p,q∈N* ),则 对于等差数列有am +an=ap +aq=2ak,但是不存在 am +an=a2k;对于等比数列有aman=apaq=a2k,但是 不存在aman =a2k. (2) 对等差数列有Sm ,S2m -Sm ,S3m -S2m ,… 成 等差数列;对等比数列有Sm ,S2m -Sm ,S3m -S2m ,… 成等比数列,且仅在q≠-1或q=-1且m 为奇数时 满足. 1.(多选题)(2022·福州市质量检测)已知等差 数列{an}的前n 项和为Sn,公差d ≠0.若 Sn ≤S6,则 ( ) A.a1<0 B.d<0 C.a6=0 D.S13≤0 2.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若S2n= 3(a1 +a3 +a5 + … +a2n-1)(n ∈ N*), a1a2a3=8,则S8= ( ) A.510 B.255 C.127 D.6 540 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 四 第二讲 数列求和与数列的应用 1.公式法:①等差数列的求和公式;②等比数列 的求和公式;③常用公式,即1+2+3+…+ n= 1 2n (n +1),12 +22 +32 + … +n2 = 1 6n (n+1)(2n+1),1+3+5+…+(2n- 1)=n2,n∈N*. 2.分组求和法:当直接运用公式法求和有困难 时,常将“和式”中的“同类项”先合并在一起, 再运用公式法求和. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 020 第一部分 专题三 数列 3.倒序相加法:在数列求和中,若和式中到首尾 距离相等的两项的和有共性,则常考虑选用 倒序相加法进行求和. 4.错位相减法:如果数列的通项是由一个等差 数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成 的,那么常选用错位相减法将其和转化为“一 个新的等比数列的和”,从而进行求解. 5.裂项相消法:如果数列的通项可分裂成“两项 差”的形式,且相邻项分裂后相关联,那么常 选用裂项相消法求和.常用的裂项形式: (1) 1n(n+1)= 1 n- 1 n+1 ; (2) 1n(n+k)= 1 k 1 n- 1 n+k ; (3)1 k2 < 1 k2-1 = 1 2 1 k-1- 1 k+1 , 1 k - 1 k+1= 1 (k+1)k < 1 k2 < 1 (k-1)k= 1 k-1- 1 k ; (4) 1n(n+1)(n+2)= 1 2 1 n(n+1)- 1 (n+1)(n+2) 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 . 1.已知数列 1(2n-1)(2n+3) 的前n 项和为 Tn,则使“∀n∈N*,不等式6Tn <a2-a恒 成立”为真命题的一个充分不必要条件是 ( ) A.a≤-2或a≥0 B.a≤0或a≥1 C.a>0 D.a≤-2 2.(2022·甘肃诊断考试)数列{an}满足nan+1= (n+1)an +1(n∈N*),且a1=1,则a2 022= . 3.(2020·全国 Ⅲ 卷)设数列{an}满足a1=3, an+1=3an -4n. (1)计算a2,a3,猜想{an}的通项公式并加以 证明; (2)求数列{2nan}的前n项和Sn. 4.(2020·新高考Ⅱ卷)已知公比大于1的等比 数列{an}满足a2+a4=20,a3=8. (1)求{an}的通项公式; (2)求a1a2-a2a3+…+(-1)n-1anan+1. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋